Alternativa de Fredholm

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A alternativa de Fredholm, termo matemático decorrente de seu formulador Ivar Fredholm, é um dos teoremas de Fredholm e um resultado na teoria de Fredholm. A alternativa pode ser expressa de diversas formas: como um teorema da álgebra linear, um teorema das a equações integrais, ou ainda um teorema dos operadores de Fredholm. Uma parte dos resultados da alternativa estabelece que um número complexo não nulo no espectro de um operador compacto é um autovalor.

Álgebra Linear[editar | editar código-fonte]

Se V é um espaço vetorial n-dimensional e é uma transformação linear, então exatamente uma das seguintes conclusões é satisfeita:

  1. Para cada vetor v em V existe um vetor u em V tal que . Em outras palavras, T é uma transformação sobrejetiva.
  2. .

Equações Integrais[editar | editar código-fonte]

Seja um núcleo integral, e consideremos a equação homogênea, denominada equação integral de Fredholm,

e a equação não-homogênea

A alternativa de Fredholm estabelece que, para qualquer número complexo fixo não negativo , ou a primeira equação tem uma solução não trivial, ou a segunda equação tem uma solução para todo .

Uma condição suficiente para a garantia deste teorema é que seja quadraticamente integrável no retângulo (onde a e/ou b podem ser menos ou mais infinito).

Análise Funcional[editar | editar código-fonte]

Resultados obtidos com o operador de Fredholm generalizam os resultados aqui obtidos para espaços vetoriais de dimensão infinita, os espaços de Banach.

Correspondência[editar | editar código-fonte]

Livremente falando, a correspondência entre as versões baseadas na álgebra linear e em equações integrais é estabelecida a seguir. Seja

ou, em notação indicial,

sendo a função generalizada Delta de Dirac. T pode ser interpretado como um operador linear atuando sobre um espaço de Banach V de funções , tal que

é dado por

com dado por

.

Nesta forma de expressão, a alternativa baseada em equações integrais podem ser vistas como correspondência à alternativa da álgebra linear.

Alternativa[editar | editar código-fonte]

Em termos mais precisos, a alternativa de Fredholm é aplicável somente quando K é um operador compacto. Da teoria de Fredholm, núcleos integrais contínuos são operadores compactos. A alternativa de Fredholm pode ser reformulada da seguinte forma: um não nulo é ou um autovalor de K, ou pertence ao domínio do resolvente

Bibliografia[editar | editar código-fonte]