Anel (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Text document with red question mark.svg
Este artigo ou secção contém fontes no fim do texto, mas que não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde janeiro de 2011)
Por favor, melhore este artigo introduzindo notas de rodapé citando as fontes, inserindo-as no corpo do texto quando necessário.
Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.
Disambig grey.svg Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto, juntamente com duas operações binárias (normalmente chamado de adição e multiplicação), onde cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto juntamente com as suas duas operações devem satisfazer determinadas condições - nomeadamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição. Embora essas operações são familiares a partir de muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, por exemplo, eles também são muito gerais, no sentido de que tomem uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença de anéis torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecida como teoria dos anéis.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto com um elemento e duas operações binárias e que satisfazem as seguintes condições:

  1. Associatividade de
  2. Existência de elemento neutro (0) de
  3. Existência de simétrico de
  4. Comutatividade de
  5. Associatividade de
  6. Distributividade de em relação a (à esquerda e à direita):

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de

Em particular, temos que é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por Além disso, se costuma-se representar por

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números reais e o conjunto dos números complexos.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma  ···  com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por
  • Seja um grupo abeliano e seja End() o conjunto dos endomorfismos de Se, dados  ∈ End(), se definir a adição de  ∈ End() de com por então End() é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Divisores de zero[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam um anel e um elemento de diferente de Diz-se que é um divisor de zero se existir algum  ∈  \  tal que ou que

Exemplos:

  • O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja um número natural maior do que e seja Z com a adição e o produto assim definidos: se  ∈ Z então é o resto da divisão por da soma dos números inteiros e e é o resto da divisão por do produto dos números inteiros e Então Z tem divisores de zero quando e só quando for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que então, em Z

Ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam um anel e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um ideal à esquerda de se

Diz-se que é um ideal à direita de se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

Diz-se que é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se  ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja o conjunto das funções de R² em R² da forma

onde  ∈ R. Então, se for a função nula, se for a adição de funções e se for a composição, então é um anel (não comutativo). Se

então é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se for um anel e for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em a relação de equivalência ∼ assim definida:

 ∼  se e só se  ∈ 

Se  ∈  seja a sua classe de equivalência; seja o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

é novamente um grupo abeliano. Além disso, se for um ideal à esquerda e se  ∈  então faz sentido definir a função

Analogamente, se for um ideal à direita e se  ∈  então faz sentido definir a função

Caso seja um ideal bilateral, volta a ser um anel se se definir

Referências bibliográficas[editar | editar código-fonte]

  • R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups Butterworth-Heinemann [S.l.] ISBN 0-340-54440-6. 
  • Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
  • Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
  • T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3 Cambridge university Press [S.l.] ISBN 0-521-27288-2. 
  • Dresden, G. "Small Rings." [1]
  • Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
  • Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
  • Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
  • Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
  • Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
  • Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.
  • Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
  • Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
  • Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
  • Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3 .
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
  • McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
  • Pinter-Lucke, James (2007), "Commutativity conditions for rings: 1950–2005", Expositiones Mathematicae 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001, ISSN 0723-0869 
  • Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
  • Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver também[editar | editar código-fonte]