Anel (matemática)

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Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.
Disambig grey.svg Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto, juntamente com duas operações binárias (normalmente chamadas de adição e multiplicação), onde cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto juntamente com as suas duas operações deve satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto com um elemento e duas operações binárias e que satisfazem as seguintes condições:

  1. Associatividade de
  2. Existência de elemento neutro (0) de
  3. Existência de simétrico de
  4. Comutatividade de
  5. Associatividade de
  6. Distributividade de em relação a (à esquerda e à direita):

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de

Em particular, temos que é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por Além disso, se costuma-se representar por

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto dos números racionais, o conjunto dos números reais e o conjunto dos números complexos.
  • O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma  ···  com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.
  • O menor anel é formado somente por
  • Seja um grupo abeliano e seja End() o conjunto dos endomorfismos de Se, dados  ∈ End(), se definir a adição de  ∈ End() de com por então End() é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares[editar | editar código-fonte]

Divisores de zero[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam um anel e um elemento de diferente de Diz-se que é um divisor de zero se existir algum  ∈  \  tal que ou que

Exemplos:

  • O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.
  • Seja um número natural maior do que e seja Z com a adição e o produto assim definidos: se  ∈ Z então é o resto da divisão por da soma dos números inteiros e e é o resto da divisão por do produto dos números inteiros e Então Z tem divisores de zero quando e só quando for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que então, em Z

Ideais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam um anel e um subconjunto não vazio de Diz-se que é um ideal à esquerda de se

Diz-se que é um ideal à direita de se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

Diz-se que é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

  • Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se  ∈ Z\{±}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.
  • Seja o conjunto das funções de R² em R² da forma

onde  ∈ R. Então, se for a função nula, se for a adição de funções e se for a composição, então é um anel (não comutativo). Se

então é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se for um anel e for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em a relação de equivalência ∼ assim definida:

 ∼  se e só se  ∈ 

Se  ∈  seja a sua classe de equivalência; seja o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

é novamente um grupo abeliano. Além disso, se for um ideal à esquerda e se  ∈  então faz sentido definir a função

Analogamente, se for um ideal à direita e se  ∈  então faz sentido definir a função

Caso seja um ideal bilateral, volta a ser um anel se se definir

Referências bibliográficas[editar | editar código-fonte]

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Ver também[editar | editar código-fonte]