Anel artiniano

Em álgebra abstrata, um anel artiniano é um anel que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais. Eles também são chamados de anéis de Artin e são assim chamados em homenagem a Emil Artin, que foi o primeiro a descobrir que a condição de cadeia descendente para ideias generaliza simultaneamente os anéis finitos e anéis que são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um corpo. A definição de anéis artinianos pode ser reformulada trocando-se a condição de cadeia descendente por uma noção equivalente: a condição minimal.

Um anel é artiniano a esquerda se ele satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à esquerda, artiniano à direita se satisfaz a condição de cadeia descendente sobre ideais à direita e artiniano se ele é artiniano à direita e à esquerda. Para anéis comutativos as definições à esquerda e à direita coincidem, mas em geral elas são distintas uma da outra.

O Teorema de Artin–Wedderburn caracteriza todos os anéis simples artinianos como anéis matriciais sobre um anel com divisão. Isso implica que um anel simples é artiniano à esquerda se e somente se ele é artiniano à direita.

Embora a condição de cadeia descendente pareça ser dual à condição de cadeia ascendente, em anéis ela é de fato a condição mais forte. Especificamente, uma consequência do teorema de Akizuki–Hopkins–Levitzki é que um anel artiniano à esquerda (à direita) é automaticamente um anel noetheriano à esquerda (à direita). Isso não é verdade para módulos em geral, ou seja, um módulo artiniano não precisa ser um módulo noetheriano.

Exemplos

Um domínio de integridade artiniano é um corpo.
Um anel com uma quantidade finita de ideais, digamos à esquerda, é artiniano à esquerda. Em particular, um anel finito (tal como $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ) é artiniano à esquerda e à direita.
Seja $k$ um corpo. Então $k[t]/(t^{n})$ é artiniano para todo inteiro positivo Artinian $n$ .
Se $I$ é um ideal não nulo de um domínio de Dedekind $A,$ então $A/I$ é um anel artiniano principal.^[1]
Para cada $n\geq 1$ , o anel completo de matrizes $M_{n}(R)$ sobre um anel artiniano à esquerda (respectivamente noetheriano à esquerda) $R$ é artiniano à esqueda (respectivamente noetheriano à esquerda).^[2]

O anel dos inteiros $\mathbb {Z}$ é um anel noetheriano que não é artiniano.

Módulos sobre anéis artinianos

Seja $M$ um módulo à esquerda sobre um anel artiniano. Então as seguintes condições são equivalentes:^[3]

$M$ é finitamente gerado
$M$ tem comprimento finito
$M$ é noetheriano
$M$ é artiniano.

Anéis comutativos artinianos

Seja A um anel comutativo noetheriano com unidade. Então as seguintes condições são equivalentes.

A é artiniano.
A é um produto finito de aneis locais artinianos comutativos.^[4]
A / nil(A) é um anel semisimples, onde nil(A) é o nilradical de A[carece de fontes].[5]
Todo módulo finitamente gerado sobre A tem comprimento finito. (ver acima)
A tem dimensão zero.^[6] (Em particular, o nilradical é o radical de Jacobson pois os ideias primos são maximais.)
$\operatorname {Spec} A$ é finito e discreto.
$\operatorname {Spec} A$ é discreto.^[7]

Seja k um corpo e A uma k-álgebra finitamente gerada. Então A é artiniana se e somente se A é finitamente gerada como k-módulo.

Um anel local artiniano é completo. Um quociente e uma localização de um anel artiniano é artiniano.

Ver também

Notas

↑ Teorema 459 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf
↑ Cohn 2003, 5.2 Exercício 11
↑ Bourbaki, VIII, pg 7
↑ Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.7
↑ Esboço: Em aneis comutativos, nil(A) está contido no radical de Jacobson de A. Como A/nil(A) é semisimples, nil(A) é na verdade igual ao radical de Jacobson de A. Pelo teorema de Levitzky, nil(A) é um ideal nilpotente. Estes dois últimos fatos mostram que A é um anel semiprimário, e pelo teorema de Hopkins–Levitzki A é artiniano.
↑ Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.5
↑ Atiyah & Macdonald 1969, Capítulo 8, Exercício 2.

Referências

Auslander, Maurice; Reiten, Idun; Smalø, Sverre O. (1995), Representation theory of Artin algebras, ISBN 978-0-521-41134-9, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36, Cambridge University Press, MR 1314422, doi:10.1017/CBO9780511623608
Bourbaki, Algèbre
Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712–730.
Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, ISBN 978-0-201-40751-8, Westview Press
Cohn, Paul Moritz (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-85233-587-8

[1] Teorema 459 de http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf

[2] Cohn 2003, 5.2 Exercício 11

[3] Bourbaki, VIII, pg 7

[4] Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.7

[5] Esboço: Em aneis comutativos, nil(A) está contido no radical de Jacobson de A. Como A/nil(A) é semisimples, nil(A) é na verdade igual ao radical de Jacobson de A. Pelo teorema de Levitzky, nil(A) é um ideal nilpotente. Estes dois últimos fatos mostram que A é um anel semiprimário, e pelo teorema de Hopkins–Levitzki A é artiniano.

[6] Atiyah & Macdonald 1969, Teoremas 8.5

[7] Atiyah & Macdonald 1969, Capítulo 8, Exercício 2.

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