Aritmética primitiva recursiva

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A Aritmética Primitiva Recursiva(APR), é uma formalização dos números naturais, livre de quantificadores. Foi primeiramente proposta por Skolem como uma formalização de sua concepção finitista das fundações da aritmética, e é amplamente acordado que todo raciocínio da APR é finitista. Muitos acreditam que todo o finitismo é englobado pela APR, mas outros acreditam que o finitismo pode ser estendido à formas de recursão além da primitiva, como ε₀, que é a prova teórica ordinal da Aritmética de Peano. A prova teórica ordinar da ARP é ωω, onde ω é o menor ordinal transfinito. APR é geralmente chamada de Aritmética de Skolem.

A linguagem da APR pode expressar proposições aritméticas envolvendo números naturais e qualquer forma primitiva de função recursiva, incluindo as operações de adição, multiplicação e exponenciação. A APR não pode quantificar explicitamente sobre o domínio dos números naturais. A APR é geralmente tomada como o sistema matemático formal para teoria de provas, em particular para provas de consistência, como a prova de consistência de Gentzen da aritmética de primeira ordem.

Linguagem e axiomas[editar | editar código-fonte]

A linguagem da APR consiste de:

  • Um número contável e infinito de variáveis x, y, z... cada um variando sobre os números naturais.
  • Conectivos proposicionais
  • O símbolo de igualdade =, o símbolo de constante 0 e o símbolo de sucessor S (significando adicionar um)
  • Um símbolo para cada função recursiva primitiva


Os axiomas lógicos da APR são:

  • Tautologias da lógica proposicional
  • Axiomatização usual da igualdade como uma relação de equivalência


As regras lógicas da APR são modus ponens e substituição de variáveis


Os axiomas não-lógicos são:

  • ;

e equações recursivamente definidas para cada função primitiva recursiva desejada, especialmente:


A APR substitui o sistema axiomático da indução da lógica de primeira ordem pela regra da indução (livre de quantificadores):

  • From and , deduce , for any predicate


Na aritmética de primeira ordem, as únicas funções primitivas recursivas que precisam ser explicitamente axiomatizadas são a adição e a multiplicação. Todos os outros predicados primitivos recursivos podem ser definidos usando essas duas funções primitivas recursivas e quantificação sobre os números naturais. Definir funções primitivas recursivas desta maneira não é possível na APR, pois ela não possui quantificadores.

Cálculo livre de conectivos lógicos[editar | editar código-fonte]

É possível formalizar a APR de uma maneira na qual ela não possui nenhum conectivo lógico - a sentença da APR é simplesmente uma equação entre dois termos. Desse modo, um termo é uma função primitiva recursiva de zero ou mais variáveis. Em 1941, Haskell Curry criou o primeiro sistema da APR livre de conectivos lógicos[1]A regra de indução no sistema de Curry era incomum. Posteriormente, um refinamento foi feito por Reuben Goodstein.[2]A regra de indução no sistema de Goodstein é:



Aqui, x é uma variável, S é a operação de sucessor e F, G e H são qualquer função primitiva recursiva que podem possuir parâmetros diferentes dos aqui mostrados. A outra regra de inferência do sistema de Goodstein são as regras de substituição a seguir:



Onde A, B e C são quaisquer termos(funções primitivas recursivas de zero ou mais variáveis). Finalmente, temos símbolos para qualquer função primitiva recursiva com equações correspondentes, assim como no sistema de Skolem.

Desse modo, a lógica proposicional pode ser inteiramente descartada, os operadores lógicos podem ser expressos aritmeticamente e, por exemplo, o valor absoluto da diferença de dois números pode ser definido pela seguinte recursão primitiva:

Assim, as equações x=y e |x-y|=0 são equivalentes. Portanto, as equações e expressam a conjunção e disjunção lógica, respectivamente, das equações x=y e u=v. A negação pode ser expressa como .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referencias[editar | editar código-fonte]

Links externos[editar | editar código-fonte]