Autovetor generalizado

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Em álgebra linear, um autovetor generalizado (em inglês: generalized eigenvector) de uma matriz quadrada de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário.[1]

Seja um espaço vetorial n-dimensional; seja uma transformação linear em L(V), o conjunto de todas as transformações lineares de sobre si mesmo; e seja a representação matricial de em relação a alguma base ordenada.

Pode não haver sempre um conjunto completo de n autovetores linearmente independentes de que formam uma base completa de . Isto é, a matriz pode não ser diagonalizável.[2][3] Isto ocorre quando a multiplicidade algébrica de pelo menos um autovalor é maior que sua multiplicidade geométrica (a nulidade da matriz , ou a dimensão de seu espaço nulo). Neste caso, é denominado um autovalor defectivo e é denominada uma matriz defectiva.[4]

Um autovetor generalizado correspondendo a , juntamente com a matriz , gera uma cadeia de Jordan de autovetores generalizados linearmente independentes que formam uma base para um subespaço invariante de .[5][6][7]

Usando autovetores generalizados, um conjunto de autovetores linearmente independentes de pode ser estendido para uma base completa para .[8] Esta base pode ser usada para determinar uma matriz quasi-diagonal em forma canônica de Jordan, semelhante a , que é de uso prático no cálculo de certas funções matriciais de .[1] A matriz é também útil na solução de sistemas de equações diferenciais ordinárias onde não precisa ser diagonalizável.[3][9]

Visão geral e definição[editar | editar código-fonte]

Existem diversas formas equivalentes de definir um autovetor ordinário.[10][11][12][13][14][15][16][17] Para nossos propósito aqui, um autovetor associado com um autovalor de uma matriz de ordem × é um vetor não nulo para o qual , sendo a matriz identidade × e o vetor nulo de ordem .[12] Isto é, é o núcleo da transformação linear . Se tem autovetores linearmente independentes, então é similar a uma matriz diagonal . Isto é, existe uma matriz inversível tal que é diagonalizável através da transformação similar .[18][19] A matriz é denominada matriz espectral de . A matriz é denominada matriz modal de .[20] Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.[21]

De outro modo, se não tem autovetores linearmente independentes associados, então não é diagonalizável.[18][19]

Definição: Um vetor é um autovetor generalizado de grau m da matriz e correspondente ao autovalor se

mas

[1]

Claramente, um autovetor generalizado de grau 1 é um autovetor ordinário.[22] Toda matriz × tem autovetores generalizados linearmente independentes associados a ela e pode ser mostrado ser similar a uma matriz "quase diagonal" na forma normal de Jordan.[23] Isto é, existe uma matriz inversível tal que .[24] A matriz neste caso é denominada uma matriz modal generalizada de .[25] Se é um autovalor de multiplicidade algébrica , então terá autovetores generalizados linearmente independentes correspondendo a .[8] Este resultado, por sua vez, fornece um método direto para o cálculo de funções matriciais de .[26]

Nota: Para uma matriz de ordem sobre um corpo poder ser expressa na forma normal de Jordan, todos os autovalores de devem estar em . Isto é, o polinômio característico deve ser fatorado completamente em fatores lineares. Por exemplo, se tem elementos pertencentes ao conjunto dos números reais, então pode ser necessário que os autovalores e as componentes dos autovetores tenham valores complexos.[3][4][27]

O conjunto gerado por todos os autovetores generalizados para um dado forma o autoespaço generalizado para .[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.

Exemplo 1[editar | editar código-fonte]

Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto.[2][3][28]

Seja

Então existe apenas um autovalor, , sendo sua multiplicidade algébrica m = 2.

Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de como sendo p = 1, e assim existem mp = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.

O autovetor ordinário é computado da forma usual. Usando este autovetor é computado o autovetor generalizado resolvendo

Explicitando os valores:

Isto se simplifica como

O elemento não tem restrições. O autovetor generalizado de grau 2 é então , onde a pode assumir qualquer valor escalar. A escolha a = 0 é usualmente a mais simples.

Note que

tal que é um autovetor generalizado,

tal que é um autovetor ordinário, e que e são linearmente independentes e constituem assim uma base para o espaço vetorial .

Exemplo 2[editar | editar código-fonte]

Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem.[29] A matriz

tem autovalores e com multiplicidades algébricas e , mas multiplicidades geométricas e .

Os autoespaços generalizados de são calculados abaixo. é o autovetor ordinário associado com . é um autovetor generalizado associado com . é o autovetor ordinário associado com . e são autovetores generalizados associados com .

Isto resulta em uma base para cada um dos autoespaços generalizados de . Juntamente as duas cadeias de autovetores generalizados cobrem o espaço de todo os vetores colunas 5-dimensionais.

Uma matriz "quasi-diagonal" na forma normal de Jordan, similar a é obtida como segue:

onde é uma matriz modal generalizada para , as colunas de são uma base canônica para , e .[30]

Cadeias de Jordan[editar | editar código-fonte]

Definição: Seja um autovetor generalizado de grau m correspondente à matriz e o autovalor . A cadeia gerada por é um conjunto de vetores dado por




 

 

 

 

(1)

Assim, em geral

 

 

 

 

(2)

O vetor , dado pela Eq. (2), é um autovetor generalizado de grau j correspondente ao autovalor . Uma cadeia e um conjunto linearmente independente de vetores.[6]

Base canônica[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Base canônica

Definição: Um conjunto de n autovetores generalizados linearmente independentes é uma base canônica se for composto inteiramente de cadeias de Jordan.

Thus, once we have determined that a generalized eigenvector of rank m is in a canonical basis, it follows that the m − 1 vectors that are in the Jordan chain generated by are also in the canonical basis.[31]

Let be an eigenvalue of of algebraic multiplicity . First, find the ranks (matrix ranks) of the matrices . The integer is determined to be the first integer for which has rank (n being the number of rows or columns of , that is, is n × n).

Now define

The variable designates the number of linearly independent generalized eigenvectors of rank k corresponding to the eigenvalue that will appear in a canonical basis for . Note that

.[32]

Cálculo de autovetores generalizados[editar | editar código-fonte]

Nas seções precedentes vimos técnicas para obter n autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial associado com uma matriz n × n . Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:

Resolva a equação característica de para os autovalores e suas multiplicidades algébricas ;
Para cada
Determine ;
Determine ;
Determine para ;
Determine cada cadeia de Jordan para .

Examplo 3[editar | editar código-fonte]

A matriz

tem um autovalor de multiplicidade algébrica e um autovalor de multiplicidade algébrica . Temos n = 4. Para temos .

O primeiro inteiro para o qual tem posto é .

Definimos agora

Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a tal que

 

 

 

 

(3)

mas

 

 

 

 

(4)

As equações (3) e (4) representam sistemas lineares que podem ser resolvidos para . Seja

Então

e

Assim, a fim de satisfazer as condições (3) e (4), devemos ter e . Nenhuma restrição é imposta sobre e . Escolhendo , obtemos

como um autovetor generalizado de posto 3 correspondente a . Note que é possível obter infinitos outros autovetores generalizados de posto 3 escolhendo diferentes valores de , e , com . Nossa primeira escolha, contudo, é a mais simples.[33]

Agora usando as equações (1), obtemos e como autovetores generalizados de postos 2 e 1 respectivamente,onde

e

O autovalor simples pode ser tratado usando técnicas padrão e tem um autovetor ordinário

Uma base canônica para é

e são autovetores generalizados associados com . é o autovetor ordinário associado com .

Deve ser notado que este é um exemplo simples. Em geral, os números de autovetores generalizados linearmente independentes de posto k não serão sempre iguais. Isto é, pode haver diversas cadeias de comprimentos diferentes correspondentes a um particular autovalor.[34]

Matriz modal generalizada[editar | editar código-fonte]

Seja uma matriz n × n. Uma matriz modal generalizada para é uma matriz n × n cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para e aparece em de acordo com as seguintes regras:

  • Todas as cadeias de Jordan consistindo de um vetor (isto, um vetor no comprimento) aparece nas primeiras colunas de .
  • Todos os vetores de uma cadeia aparecem juntos em colunas adjacentes de .
  • Cada cadeia aparece em na ordem de posto crescente (isto é, o autovetor generalizado de posto 1 aparece antes do autovetor generalizado de posto 2 da mesma cadeia, que aparece antes do autovetor generalizado de posto 3 da mesma cadeia, etc.).[35]

Forma canônica de Jordan[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de uma matriz na forma canônica de Jordan. Os blocos cinza são chamados de blocos de Jordan.
Ver artigo principal: Forma canônica de Jordan

Seja um espaço vetorial n-dimensional; seja um mapeamento linear em L(V), o conjunto de todos os mapeamentos lineares de nele mesmo; e seja a representação matricial de em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o polinômio característico de é fatorado em fatores lineares, tal que tem a forma

onde são os distintos autovalores de , então cada é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor e é similar a uma matriz na forma canônica de Jordan, onde cada aparece vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada (isto é, na superdiagonal) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero.[36] Note que alguns livros-texto tem os uns na subdiagonal, isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.[37][38]

Toda matriz n × n é similar a uma matriz na forma canônica de Jordan, obtida através da transformação similar , onde é uma matriz modal generalizada para .[39] (ver Nota acima.)

Exemplo 4[editar | editar código-fonte]

Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a

Solução: A equação característica de é , e então é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos

e

Assim, e , que implica que a base canônica para contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores e uma cadeia de um vetor . Designando , temos

e

onde é uma matriz modal generalizada para , as colunas de são uma base canônica para , e .[40] Note que desde que autovetores generalizados não são únicos, e desde que algumas das colunas de ambos e podem ser intercambiadas, segue que ambos e não são únicos.[41]

Exemplo 5[editar | editar código-fonte]

No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz . Uma matriz modal generalizada para é

Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a é

tal que .

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Funções matriciais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Função matricial

Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes.[42] Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n .[43] Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples.[44] Se é diagonalizável, isto é

com

então

e a determinação da série de Taylor para funções de é significativamente simplificada.[45] Por exemplo, para obter qualquer potência k de , basta calcular , premultiplicar por , e posmultiplicar o resultado por .[46]

Usandoautovetores generalizados podemos obter a forma canônica de Jordan para e estes resultados podem ser generalizados para um método direto para determinação de funções de matrizes não diagonalisáveis.[47]

Equações diferenciais[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Equação diferencial ordinária

Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias

 

 

 

 

(5)

onde

     e     

Se a matriz é uma matriz diagonal tal que para , então o sistema (5) reduz-se a um sistema de n equações na forma



 

 

 

 

(6)

Neste caso, a solução geral é dada por

In the general case, we try to diagonalize and reduce the system (5) to a system like (6) as follows. If is diagonalizable, we have , where is a modal matrix for . Substituting , equation (5) takes the form , or

 

 

 

 

(7)

where

 

 

 

 

(8)

The solution of (7) is

The solution of (5) is then obtained using the relation (8).[48]

On the other hand, if is not diagonalizable, we choose to be a generalized modal matrix for , such that is the Jordan normal form of . The system has the form

 

 

 

 

(9)

where the are the eigenvalues from the main diagonal of and the are the ones and zeros from the superdiagonal of . The system (9) is often more easily solved than (5). We may solve the last equation in (9) for , obtaining . We then substitute this solution for into the next to last equation in (9) and solve for . Continuing this procedure, we work through (9) from the last equation to the first, solving the entire system for . The solution is then obtained using the relation (8).[49]

Referências

  1. a b c Bronson (1970, p. 189)
  2. a b Beauregard & Fraleigh (1973, p. 310)
  3. a b c d e Nering (1970, p. 118)
  4. a b Golub & Van Loan (1996, p. 316)
  5. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 319)
  6. a b Bronson (1970, pp. 194–195)
  7. Golub & Van Loan (1996, p. 311)
  8. a b Bronson (1970, p. 196)
  9. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 316–318)
  10. Anton (1987, pp. 301–302)
  11. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 266)
  12. a b Burden & Faires (1993, p. 401)
  13. Golub & Van Loan (1996, pp. 310–311)
  14. Harper (1976, p. 58)
  15. Herstein (1964, p. 225)
  16. Kreyszig (1972, pp. 273,684)
  17. Nering (1970, p. 104)
  18. a b Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 270–274)
  19. a b Bronson (1970, pp. 179–183)
  20. Bronson (1970, p. 181)
  21. Bronson (1970, p. 179)
  22. Bronson (1970, pp. 190,202)
  23. Bronson (1970, pp. 189,203)
  24. Bronson (1970, pp. 206–207)
  25. Bronson (1970, p. 205)
  26. Bronson (1970, pp. 189,209–215)
  27. Herstein (1964, p. 259)
  28. Herstein (1964, p. 261)
  29. Nering (1970, pp. 122,123)
  30. Bronson (1970, pp. 189–209)
  31. Bronson (1970, pp. 196,197)
  32. Bronson (1970, pp. 197,198)
  33. Bronson (1970, pp. 190–191)
  34. Bronson (1970, pp. 197–198)
  35. Bronson (1970, p. 205)
  36. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 311)
  37. Cullen (1966, p. 114)
  38. Franklin (1968, p. 122)
  39. Bronson (1970, p. 207)
  40. Bronson (1970, pp. 208)
  41. Bronson (1970, p. 206)
  42. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 57–61)
  43. Bronson (1970, p. 104)
  44. Bronson (1970, p. 105)
  45. Bronson (1970, p. 184)
  46. Bronson (1970, p. 185)
  47. Bronson (1970, pp. 209–218)
  48. Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 274–275)
  49. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 317)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]