Axioma esquemático

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Em lógica matemática, um axioma esquemático generaliza a noção de axioma.

Um axioma esquemático é uma fórmula na linguagem de um sistema axiomático, no qual uma ou mais variáveis esquemáticas aparecem. Estas variáveis, o qual são construções metalinguísticas, representam qualquer termo ou sub-fórmula do sistema, que podem ou não ser solicitados para satisfazer certas condições. Freqüentemente, algumas condições pedem que certas variáveis estejam livres, ou que certas variáveis não apareçam na sub-fórmula ou termo.

Dado que o número de possíveis sub-fórmulas ou termos que podem ser inseridas no lugar de uma variável esquemática é infinito, um axioma esquemático representa um incontável conjuntos de axiomas. Este conjunto pode ser definido recursivamente. Uma teoria que pode ser axiomatizada sem o uso de esquemas são ditas finitamente axiomatizadas. Teorias que podem ser finitamente axiomatizadas são consideradas mais elegantes de um ponto de vista matemático, mesmo que sejam menos práticas para o trabalho dedutivo.

Duas Instâncias bem conhecidas de axioma esquemático são:

Foi provado (primeiramente por Richard Montague) que estas esquematizações não podem ser eliminadas.

Portanto a aritmética de Peano e teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha não podem ser finitamente axiomatizados. Isto pode ser o caso para várias outras teorias axiomáticas em matemática, filosofia, linguística, etc.

Variáveis esquemáticas em lógica de primeira ordem são descartáveis na lógica de segunda ordem, porque uma variável esquemática é freqüentemente um argumento para alguma propriedade ou relação sobre elementos da teoria. Isto é o caso com a esquematização da indução e recolocação mencionadas acima. Lógicas de ordem superiores reservam variáveis quantificadas para colocar-se sobre todas as possíveis propriedades ou relações.

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