Base (álgebra linear)

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Na álgebra linear, uma base de um espaço vectorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram esse espaço.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Se é um espaço vectorial sobre um corpo chama-se base de a um conjunto de vectores de linearmente independentes que gera

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O espaço vectorial tem por base o conjunto[2]

que se denomina a sua base canónica.

  • No plano a recta de equação tem por base o conjunto
  • O espaço vectorial dos polinómios p(x) de coeficientes reais tem uma base infinita, o conjunto
  • Cada corpo K pode ser considerado como um espaço vectorial sobre ele mesmo. Neste caso, qualquer elemento não-nulo forma uma base
  • O espaço vectorial formado pelo vetor nulo tem como base o conjunto vazio.[2]
  • Seja um elemento algébrico sobre o corpo sendo uma extensão de Então existe um polinômio com coeficientes em tal que Podemos definir o grau de em como o menor grau dos polinômios em que Então é uma extensão algébrica de e, portanto, podemos considerar como um espaço vetorial sobre Neste caso, a sua base é

Cardinalidade e dimensão[editar | editar código-fonte]

Um espaço vectorial pode ter mais de uma base. De facto, um espaço vectorial só pode ter uma única base nos seguintes casos:

  • o espaço formado só por sobre qualquer corpo (a base é o conjunto vazio);
  • o espaço como espaço vectorial sobre o corpo (a base é {}).

Os seguintes resultados, porém, são válidos:

  • Se um espaço vectorial tem uma base finita, então todas as outras bases também são finitas, e têm a mesma cardinalidade.[3]
  • De modo geral, supondo-se o axioma da escolha, duas bases de um espaço vectorial tem a mesma cardinalidade (mesmo se a base for um conjunto infinito). Esta cardinalidade designa-se por dimensão de [4] Um espaço vectorial que possui uma de suas bases formada por 3 vectores, por exemplo, é um espaço vetorial de dimensão 3.

Existência[editar | editar código-fonte]

Usando-se uma forma equivalente do axioma da escolha, o Lema de Zorn, é fácil mostrar que todo espaço vectorial tem uma base e, mais geralmente, provar que, para qualquer conjunto linearmente independente de vectores de existe uma base de que contém Seja o conjunto de todos as partes linearmente independente de que contêm O conjunto está parcialmente ordenado pela inclusão de conjuntos. Seja uma parte de totalmente ordenada. Então é majorado; basta ver que a união de todos os elementos de é novamente linearmente independente e contém (ou seja, pertence a ) e que contém todos os elementos de O lema de Zorn afirma então que tem algum elemento maximal Então, como  ∈  é linearmente independente e contém Se não gerasse haveria algum vector  ∈  que não seria combinação linear de elementos de Então  ∪  seria também um conjunto linearmente independente que conteria Mas  ⊂  ∪  e  ≠  ∪  o que está em contradição com ser um elemento maximal de Logo, gera e, portanto, é uma base.

Subespaços vectoriais[editar | editar código-fonte]

Se o espaço vectorial tem uma base e é um subespaço vectorial de então tem uma base com as seguintes propriedades:

  • Se é um conjunto finito e é um subconjunto próprio de então tem menos elementos que
  • No caso geral, pode-se apenas afirmar que a cardinalidade de é menor ou igual que a de

Outra propriedade importante é a seguinte:

  • Se W é um subespaço vectorial de V, e W tem uma base B1, então existe uma base B de V tal que B1 é um subconjunto de B.

Este resultado, no caso infinito, depende do axioma da escolha.

Interpretação[editar | editar código-fonte]

Uma boa forma de interpretar o conceito de Base é pensar nas cores primárias: se misturarmos amarelo, magenta e azul ciano nas proporções correctas podemos criar qualquer outra cor que desejemos. Mais, tal proporção é única para a cor desejada. Da mesma forma, uma Base permite-nos, de maneira única, combinar linearmente ("misturar") os seus vectores ("cores primárias") para obtermos o vector ("a cor") que pretendemos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
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Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Callioli 1990, p. 76–77
  2. a b Callioli 1990, p. 77
  3. Callioli 1990, p. 101
  4. Callioli 1990, p. 78

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. (São Paulo: Atual). ISBN 9788570562975.