Bhaskara II

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Bhaskara Akaria
Matemática
Bhaskara Akaria
Dados gerais
Residência Índia
Nascimento 1114
Local Vijayapura, Índia
Morte 1185 (aos 71 anos)
Local Ujjain, Índia
Atividade
Campo(s) Matemática
Conhecido(a) por Aritmética
Álgebra
Trigonometria
Equação de Pell


Bhaskara Akaria, também conhecido como Bhaskaracharya, nasceu na cidade de Vijayapura, em 1114, na Índia e viveu até meados de 1185. De família de astrólogos indianos tradicionais, o pai, astromante de renome, chamava-se de Mahesvara. Nesse contexto, Bhaskara também seguiu os laços familiares, porém se dedicou mais à Matemática e Astronomia, que dá suporte à Astrologia.[1]

Bhaskaracharya foi professor, astrólogo, astrônomo, um dos mais importantes matemáticos do século XII e último significativo daquela época. Foi também chefe do observatório astronômico de Ujjain, escola de matemática muito bem conceituada na período. Bhaskara faleceu aos 71 anos de idade, em Ujjain, na Índia.

Tornou-se famoso por ter complementado a obra do ilustre matemático e astrônomo indiano Brahmagupta (598-668), dando a solução geral da equação x^2-ny^2=1, onde n, x e y são naturais e n maior que 1, chamada de equação de Pell[2] (John Pell-1611-1685). Nesta equação, a única solução se n tiver raiz exata é x=\pm 1 e y=0. Agora, se n não for raiz exata então existem infinitas soluções inteiras. Foi dele também a identidade \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, chamada de radical duplo.[3]

A forma do radical duplo[editar | editar código-fonte]

Exemplo 1: A solução da equação x^2-4y^2=1 é x=\pm1 e y=0.

Exemplo 2: Algumas soluções inteiras da equação x^2-2y^2=1 são (17,12), (99,70), e (19601,13860.)

Exemplo 3: \sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{\frac{5+\sqrt{(5)^2-24}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{(5)^2-24}}{2}}= \sqrt{\frac{5+\sqrt{25-24}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{25-24}}{2}}= \sqrt{\frac{5+\sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{5-\sqrt{1}}{2}}= \sqrt{\frac{5+1}{2}}+\sqrt{\frac{5-1}{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}+\sqrt{\frac{4}{2}}\to \sqrt{5+\sqrt{24}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}.

Publicações[editar | editar código-fonte]

Bhaskara escreveu seis livros comprovados que são:

  • Siddhantasiromani, dedicado a assuntos astronômicos
  • Lilavati
  • Bijaganita, um tratado sobre Álgebra
  • Vasanabhasya de Mitaksara
  • Karanakutuhala ou Brahmatulya
  • Vivarana

O livro Siddhantasiromani foi escrito em 1150 e está dividido em duas partes: Goladhyaya-Esfera Celeste e Granaganita-Matemática dos Planetas. Esses dois livros tratam sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia. Nesta obra encontram-se a soma e diferença de senos de dois ângulos, ou seja, sen(a+b)=sen\ a \cdot cos b+sen b \cdot cos a e sen(a-b)=sen a\cdot cos b-sen b\cdot cos a.[4]

Lilavati (significa formosa e bela, em sânscrito), é a sua obra mais importante e leva o nome de sua filha. Ela foi composta em forma de poema com 278 versos e possui finalidade lúdica. Este livro ganhou grande popularidade na Índia durante o tempo de Akbar (1556-1605). Foi sob a ordem deste imperador que Abul Faizi, o poeta da corte, preparou a tradução integral, o Tarjamah-i-Lilavati em 1587 d.C.. Refere-se a vários assuntos,tais como: sistema de numeração, operações fundamentais, frações, regra de três simples e composta, misturas, porcentagem, progressões, geometria e equações indeterminadas, ou diofantinas, quadráticas e também a equação de Pell.

Existe uma lenda em torno do nome desse livro que diz:

Lilavati era o nome da filha de Bhaskaracarya. Ao lançar o seu horóscopo, ele descobriu que o momento auspicioso para o casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Bhaskaracarya marcou com o cilindro do tempo [os hindus mediam, calculavam e determinavam as horas do dia com o auxílio de um cilindro colocado num vaso cheio d'água. Esse cilindro era aberto apenas em cima e apresentava um pequeno orifício no centro da superfície da base para a entrada da água a hora específica para o matrimônio. Quando tudo estava pronto e o cilindro do tempo iniciará a marcar a hora propícia para o casamento, Lilavati, de repente, por curiosidade, inclinou-se sobre o recipiente e uma pérola de seu vestido caiu no copo e bloqueou o buraco. A hora da sorte passou sem que o cilindro marcasse. Bhaskarachaya acreditava que a única maneira de consolar a filha abatida, que agora nunca iria se casar, era escrever-lhe um manual de matemática![5]

A fórmula para encontrar as raízes da equação quadrática[editar | editar código-fonte]

No mundo acadêmico é comum dar o nome do pesquisador à sua obra. No Brasil, por volta de 1960 começou a dedicar o nome de Bhaskara à fórmula de resolução da equação do 2 grau. Não se vê essa nomeclatura em outros países, mesmo porque não foi ele quem a descobriu. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 4000 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática. Na Grécia (500 a.C.) também já se conhecia a resolução de algumas equações e era feito de forma geométrica. O método empregado por Bhaskara nas resoluções das equações quadráticas é do matemático indiano Sridhara (991-?) e reconhecido pelo próprio Bhaskara. A fórmula para extrair essas raízes veio com um matemático francês, Francois Viète (1540-1603), que foi quem procurou dar um tratamento mais formal e algébrico para obter uma fórmula geral.

Atualmente as equações quadráticas são utilizadas em diversos problemas do dia a dia, tais como otimização, massa corpórea, nos movimentos uniformemente variados, cálculo de área, entre tantos outros. Sua demonstração é considerada simples e será feita logo abaixo:

Uma equação do segundo grau é da forma ax^2+bx+c=0, com a, b, c\subset \mathbb{R} e a\neq0. Sua Fórmula de resolução é x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, ou seja, suas raízes são:

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} e x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.


A demonstração será realizada de duas maneiras, embora a ideia central é a mesmo, que é a de completar quadrados:


Primeira demonstração[6] :

ax^2+bx+c=0 (divida tudo por a)

x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0 (some a ambos os lados o termo -c/a)

x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}=0 (some a ambos os lados da igualdade o termo \frac{b^2}{4a^2}. Note que a equação continua sendo verdadeira)

x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=0 (Transforme o lado esquedo da igualdade num produto notável e tire o M.M.C. do lado direito.)

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} (extraia a raiz quadrada)

x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} (some a ambos os lados da igualdade o termo -b/2a)

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\to x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} (finalizando assim a demonstração.)


Segunda demonstração:

ax^2+bx+c=0 (multiplique a equação por 4a)

4a^2x^2+4abx+4ac=0 (some a ambos os lados da igualdade o termo -4ac)

4a^2x^2+4abx=-4ac (some a ambos os lados da igualdade o termo b^2. Note que a equação continua sendo verdadeira)

4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac (Transforme o lado esquedo da igualdade num produto notável.)

(2ax+b)^2=b^2-4ac (extraia a raiz quadrada)

2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac} (some a ambos os lados da igualdade o termo -b)

2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac} (divida tudo por 2a)

\frac{2ax}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\to x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} (como queríamos demonstrar.)

Aplicações e exemplos[editar | editar código-fonte]

Exemplo 4: Encontre as raízes reais da equação x^2+x-6=0.

Solução: Da equação dada obtemos a=1, b=1, c=-6 e substituindo na fórmula temos:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{(1)^2-4(1)(-6)}}{2(1)}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}\to

x_1=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2 e x_2=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3. Portanto, S=\{-3,2\}.


Teorema de Cardano-Viète (para equações quadráticas)

Dada a equação na forma ax^2+bx+c=0, com a\neq0, de raízes reais x_1 e x_2, representa-se a soma das raízes por S e o produto por P. Então temos:

S=x_1+x_2=\frac{-b}{a} e P=x_1*x_2=\frac{c}{a}.

Demonstração: Temos que x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} e x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, então

S=x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a} e

P=x_1*x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)*\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)=\frac{(-b)^2+(\sqrt{b^2-4ac})^2}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.


Exemplo 5: Encontra a soma e o produto das raízes da equação 2x^2-3x-6=0; sem ter que determinar as raízes da equação.

Solução: S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-3)}{2}=\frac{3}{2} e P=x_1*x_2=\frac{c}{a}=\frac{-6}{2}=-3


Exemplo 6: Na equação 3x^2-5x+7=0, de raízes x_1 e x^2, determine o valor da expressão \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}.

Solução: Dado \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}=\frac{x_2+x_1}{x_1*x_2}, mas S=x_1+x_2=\frac{-(-5)}{3}=\frac{5}{3} e P=x_1*x_2=\frac{7}{3}, então \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x^2}=\frac{S}{P}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}.


Análise das raízes da equação quadrática:

O termo b^2-4ac é chamado de \Delta (delta), ou discriminante, ou seja, \Delta=b^2-4ac. Sendo assim, a equaçãoo ax^2+bx+c=0, com a\neq0 teráa ou não solução no conjunto dos números reais se:

\Delta>0 existem duas raízes reais e distintas;

\Delta=0 existem duas raízes reais e iguais, também chamadas de raízes duplas;

\Delta<0 não existem raízes reais;

\Delta\geq0 existem raízes reais.


Exemplo 7: Qual o valor de m para que a equação 2x^2+x+m=0 tenha raízes reais e distintas.

Solução: Neste caso, \Delta=b^2-4ac>0, então (1)^2-4(2)(m)>0\to1-8m>0\to8m<1\to m<1/8.


Exemplo 8: Qual o valor de m para que a equação x^2+mx+4=0 tenha raízes reais e iguais.

Solução: Neste caso, \Delta=b^2-4ac=0, então (m)^2-4(1)(4)=0\to m^2-16=0\to m^2=16\to m=\pm\sqrt{16}\to m=\pm4.


Exemplo 9: Qual o valor de m para que a equação 9x^2+6x+m=0 tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, \Delta=b^2-4ac\geq0, então (6)^2-4(9)(m)\geq0\to 36-36m\geq0\to 36m\leq36\to m\leq1.


Exemplo 10: Qual o valor de m para que a equação mx^2+2x+3=0 não tenha raízes reais.

Solução: Neste caso, \Delta=b^2-4ac<0, então (2)^2-4(m)(3)<0\to4-12m<0\to12m>4\to m>1/3.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. UFRGS. Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara?. Visitado em 9 de julho de 2015.
  2. Antonio Machiavelo. A equação que nunca foi de Pell. Visitado em 9 de julho de 2015.
  3. Horward Eves. Introdução a História da Matemática. [S.l.]: UNICAMP, 2007. 256 p.
  4. Katia Dutra (28 de março de 2012). A falsa fórmula de Bhaskara 28 de março de 2012. Visitado em 9 de julho de 2015.
  5. Jussara Pereira Fernandes. O Lilavati de Bhaskaracarya e o Sistema Métrico Moderno: qual o denominador comum para o ensino de Ciências e Matemática?. [S.l.: s.n.], 2013. 7 p.
  6. Wellington José Ferreira. História das soluções das equações por meio de radicais. Visitado em 9 de julho de 2015.
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