Cálculo estocástico

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Disambig grey.svg Nota: Este artigo é sobre cálculo estocástico em geral. Para outros significados, veja Equações diferenciais estocásticas.
Um gráfico de um caminho de amostra de um processo de Wiener, ou movimento browniano, B, junto com sua integral de Itō em relação a si mesmo. A integração por partes ou o lema de Itō mostra que a integral é igual a (B2 - t)/2.

Cálculo estocástico é um ramo da matemática que opera sobre processo estocásticos. Permite uma teoria coerente de integração a ser definida para integrais de processos estocásticos em relação a processos estocásticos. É usado para modelar sistemas que comportam-se aleatoriamente, mas com uma lei de probabilidade.

O processo estocástico mais conhecido ao qual é aplicado cálculo estocástico é o processo de Wiener (nomeado em homenagem a Norbert Wiener). Tal qual descrito por Louis Bachelier em 1900 e por Albert Einstein em 1905, o processo é utilizado para a modelagem de movimento browniano outros processos de difusão de partículas sujeitas a forças aleatórias. Desde os anos 70, os processos de Wiener vêm sendo amplamente aplicados em matemática financeira e economia para modelagem, por exemplo, de valores de ações na bolsa de valores.

O cálculo estocástico tem duas bases fundamentais: o cálculo de Itō e o cálculo de variações de Malliavin. Por razões técnicas, a integral de Itō é a ferramenta mais poderosa para os processos estocásticos no geral, porém a integral de Stratonovich é frequentemente usada na formulação dos problemas (em particular na área de engenharia). A integral de Stratonovich pode ser expressa em função da integral de Itō. A principal vantagem da integral de Stratonovich é que ela obedece a regra da cadeia usual e portanto não depende do lema de Itō. Isso permite que problemas sejam expressos numa forma invariante a sistema de coordenadas, o que é extremamente desejável quando se estuda cálculo estocástico em variedades que não estão no Rn. O teorema da convergência dominada não se aplica à integral de Stratonovich, e portanto é muito difícil demonstrar resultados sem que a mesma seja re-expressa na forma de Itō.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Uma aplicação muito importante de cálculo estocástico é em finança quantitativa, em qual os preços de ativos são frequentemente assumidos como seguindo movimento Browniano geométrico, formalizado em equações estocástica seguindo o modelo de Black-Scholes.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, Predefinição:Isbn
  • Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). «Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks». Journal of Theoretical Probability. 22. 203 páginas. arXiv:0712.3908Acessível livremente. doi:10.1007/s10959-007-0140-8  Preprint