Campo vetorial

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Campo vetorial dado por vetores da forma (-y, x)[1]

Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:

{\displaystyle \mathbf{F} (x,y,z)= f(x,y,z) \mathbf{i} + g(x,y,z) \mathbf{j} + h(x,y,z) \mathbf{k}.}

Onde f=f(x,y,z), g=g(x,y,z) e h=h(x,y,z) são as funções componentes que, quando associadas a um ponto P(x,y,z), fornecem o valor de cada componente do vetor na direção de i (vetor unitário na direção e sentido do eixo X positivo), j (vetor unitário na direção e sentido do eixo Y positivo) e k (vetor unitário na direção e sentido do eixo Z positivo), respectivamente.

Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um campo vetorial de um subconjunto do espaço euclidiano {\textstyle X \subset \R^n} é uma função com valores vetoriais tais que

\mathbf{F}: X \rightarrow \mathbb{R}^n .

Diz-se que F é um campo vetorial {\textstyle C^k} se cada componente é k vezes continuamente diferenciável. Um campo vetorial pode ser visualizado como um espaço X com um vetor n-dimensional associado a cada ponto em X. Embora as representações envolvam pontos discretos, campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores.

Exemplo de um Campo de Força[editar | editar código-fonte]

Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto {\textstyle P_0} e seja uma partícula B de massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para {\textstyle P_0}, com módulo tal que

{\displaystyle | \mathbf{F} |= \frac{GMm}{r^2},}

onde G é a constante gravitacional universal.

Pensando num sistema de coordenadas em que P e {\textstyle P_0} possuam as coordenadas P(x,y,z) e {\textstyle P_0(x_0,y_0,z_0)}, , então a distância entre esses pontos é dada por

{\displaystyle r= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}}

de tal modo que r possa ser escrito como um vetor.

{\displaystyle \mathbf{r} = (x-x_0) \mathbf{i} + (y-y_0) \mathbf{j} + (z-z_0) \mathbf{k}}

Sabendo-se que {\textstyle - \frac{ \mathbf{r} }{r}} é um vetor unitário de mesma direção e sentido de F, tem-se que

{\displaystyle \mathbf{F} = |\mathbf{F}|(\frac{- \mathbf{r}}{r})}

{\displaystyle \mathbf{F} = -GMm \frac{\mathbf{r}}{r^3}}

{\displaystyle \mathbf{F} = -GMm \frac{(x-x_0)}{r^3} \mathbf{i} -GMm \frac{(y-y_0)}{r^3} \mathbf{j} -GMm \frac{(z-z_0)}{r^3} \mathbf{k}}[2]

é uma função vetorial que descreve a força gravitacional que A provoca em B.

Tipos de Campos Vetoriais[editar | editar código-fonte]

Campo Conservativo[editar | editar código-fonte]

O campo vetorial {\displaystyle \mathbf{F}} é dito conservativo se {\displaystyle \mathbf{F} = \nabla P }

Onde P é uma função potencial. Matematicamente o campo conservativo pode ser representado, em coordenadas cartesianas, por:

{\displaystyle \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} \mathbf{i} +  \frac{\partial P}{\partial y} \mathbf{j} +  \frac{\partial P}{\partial z} \mathbf{k}.}

Campo Central[editar | editar código-fonte]

Campos centrais são campos com origem em potenciais P que apenas dependem da distância, isso é: sendo

{\displaystyle r= \sqrt{(x)^2 + (y)^2 + (z)^2}}

Então, P(x,y,z)=P(r)

Operações com Campos Vetoriais[editar | editar código-fonte]

Integral de Linha[editar | editar código-fonte]

Uma técnica comum em física é integrar o campo vetorial ao longo de uma curva, sendo isto denominado como integral de linha. A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se o campo vetorial é contínuo.

Dado um campo vetorial W e a curva S parametrizada no intervalo [a,b], onde a e b são reais, a integral de linha é definida como

{\displaystyle \int_S \langle W(x), \mathrm{d}x \rangle = \int_a^b \langle W(S(t)), S'(t)\;\mathrm{d}t \rangle.}

Del[editar | editar código-fonte]

Quando aplicado à campos vetoriais o operador del leva à duas operações essenciais, o divergente e o rotacional. Quando aplicado duas vezes tem-se o laplaciano vetorial, onde cada componente deste representa o divergente do gradiente do componente respectivo do campo vetorial argumento.

Operador Nabla[editar | editar código-fonte]

O operador Nabla é definido, em coordenadas retangulares, como:

{\displaystyle \nabla = \frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} +  \frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j} +  \frac{\partial }{\partial z} \mathbf{k}.}

Gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente de uma função escalar F=F(x,y,z) é expresso, em coordenadas retangulares, como:

{\displaystyle \nabla F = \frac{\partial F}{\partial x} \mathbf{i} +  \frac{\partial F}{\partial y} \mathbf{j} +  \frac{\partial F}{\partial z} \mathbf{k}.}

A interpretação do gradiente é a direção na qual a variação da função F é máxima.

Divergente[editar | editar código-fonte]

O divergente de um campo vetorial continuamente diferenciável num espaço euclidiano de três dimensões é dado por

{\displaystyle \operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.}

Observa-se que o divergente é um campo escalar. A interpretação física do divergente é o fluxo pontual.

Rotacional[editar | editar código-fonte]

O rotacional calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional é um campo vetorial. Por definição, em três dimensões:

{\displaystyle \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}- \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i} - \left(\frac{\partial F_3}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}.}

O rotacional pode ser interpretação, fisicamente, como sendo uma circulação no espaço.

Laplaciano[editar | editar código-fonte]

Como já dito, o Laplaciano é um escalar, calculado como o divergente de um campo gradiente, dado por:

{\displaystyle \nabla^{2} F = \nabla \cdot \nabla F =  \frac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}.}.

Uma das interpretações do Laplaciano é a concavidade da função F.


Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Kreyszig, Erwin (1969). Matemática Superior para Engenharia I II ed. [S.l.: s.n.] ISBN 8521616430. 
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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23. 
  2. «Faça exemplos em dimensão dois com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-23.