Campo vetorial

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Campo vetorial dado por vetores da forma (-y, x)[1]

Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz, genericamente dada por:

Onde f=f(x,y,z), g=g(x,y,z) e h=h(x,y,z) são as funções componentes que, quando associadas a um ponto P(x,y,z), fornecem o valor de cada componente do vetor na direção de i (vetor unitário na direção e sentido do eixo X positivo), j (vetor unitário na direção e sentido do eixo Y positivo) e k (vetor unitário na direção e sentido do eixo Z positivo), respectivamente.

Campos vetoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, com seus valores de ponto em ponto.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um campo vetorial de um subconjunto do espaço euclidiano é uma função com valores vetoriais tais que

Diz-se que F é um campo vetorial se cada componente é k vezes continuamente diferenciável. Um campo vetorial pode ser visualizado como um espaço X com um vetor n-dimensional associado a cada ponto em X. Embora as representações envolvam pontos discretos, campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores.

Exemplo de um Campo de Força[editar | editar código-fonte]

Seja uma partícula A de massa M fixa em um ponto e seja uma partícula B de massa m livre para ocupar várias posições P no espaço. A atrai B de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. A força gravitacional F age de P para , com módulo tal que

onde G é a constante gravitacional universal.

Pensando num sistema de coordenadas em que P e possuam as coordenadas P(x,y,z) e , , então a distância entre esses pontos é dada por

de tal modo que r possa ser escrito como um vetor.

Sabendo-se que é um vetor unitário de mesma direção e sentido de F, tem-se que

[2]

é uma função vetorial que descreve a força gravitacional que A provoca em B.

Tipos de Campos Vetoriais[editar | editar código-fonte]

Campo Conservativo[editar | editar código-fonte]

O campo vetorial

é dito conservativo se

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Onde P é uma função potencial. Matematicamente o campo conservativo pode ser representado, em coordenadas cartesianas, por:

Outras formas de afirmar que um campo é conservativo são:

- Se o campo for irrotacional.

 

- Se o valor da integral de linha depender somente dos pontos extremos e não do caminho que os liga.

 

- Se a integral de caminho fechado for igual a zero.

 

Campo Central[editar | editar código-fonte]

Campos centrais são campos com origem em potenciais P que apenas dependem da distância, isso é: sendo

Então, P(x,y,z)=P(r)

Campos Inverso-do-Quadrado[editar | editar código-fonte]

Campos ditos Inverso-do-Quadrado[3] são aqueles campos vetoriais da forma

onde r é um vetor posição, no espaço bidimensional ou tridimensional:


e c uma constante característica do campo em questão.

Alternativamente, podemos expressar estes tipos de campos vetoriais da seguinte maneira:

com a introdução do versor posição,  :

Tais campos possuem caráter radial e a magnitude dos mesmos diminui com o quadrado da distância, pois :

Se c >0 , temos um Campo Repulsivo ( ou de Fonte), e caso c <0 , há um Campo Atrativo ( ou de Sumidouro).

Campos Inverso-do Quadrado são ditos conservativos, visto que o rot((F(r))=0 .[4]

Exemplos de Campos Inverso-do Quadrado são os Campos Gravitacional e Elétrico.

Integral de Linha[editar | editar código-fonte]

Uma técnica comum em física é integrar o campo vetorial ao longo de uma curva, sendo isto denominado como integral de linha. A integral de linha é construída analogamente à integral de Riemann e existe se o campo vetorial é contínuo.

Dado um campo vetorial W e a curva S parametrizada no intervalo [a,b], onde a e b são reais, a integral de linha é definida como

Del[editar | editar código-fonte]

O operador del é análogo ao operador de derivada d/dx, que aplicado a f(x) produz a derivada f'(x). Quando aplicado à campos vetoriais o operador del leva à duas operações essenciais, o divergente e o rotacional. Quando aplicado duas vezes tem-se o laplaciano vetorial, onde cada componente deste representa o divergente do gradiente do componente respectivo do campo vetorial argumento.

Operador Nabla[editar | editar código-fonte]

O operador Nabla é definido, em coordenadas retangulares, como:

Gradiente[editar | editar código-fonte]

O gradiente de uma função escalar F=F(x,y,z) é expresso, em coordenadas retangulares, como:

A interpretação do gradiente é a direção na qual a variação da função F é máxima.

Divergente[editar | editar código-fonte]

O divergente de um campo vetorial continuamente diferenciável num espaço euclidiano de três dimensões é dado por

Observa-se que o divergente é um campo escalar. A interpretação física do divergente é o fluxo pontual.

Rotacional[editar | editar código-fonte]

O rotacional calcula por uma superfície infinitesimal o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a esta superfície. O rotacional é um campo vetorial. Por definição, em três dimensões:

O rotacional pode ser interpretação, fisicamente, como sendo uma circulação no espaço.

Laplaciano[editar | editar código-fonte]

Como já dito, o Laplaciano é um escalar, calculado como o divergente de um campo gradiente, dado por:

Uma das interpretações do Laplaciano é a concavidade da função F.

A equação ou sua equivalente  

é conhecida como equação de Laplace. Essa equação diferencial parcial tem um papel importante em diversas aplicações pelo fato de ser satisfeita pela função potencial do campo de quadrado inverso.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Kreyszig, Erwin (1969). Matemática Superior para Engenharia. I II ed. [S.l.: s.n.] ISBN 8521616430 
  • ANTON, Howard. Cálculo / Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis; tradução Claus Ivo Doering. - 8. ed. - Porto Alegre: Bookman, 2007. 2 v. (680; 672 p.): il.; 28cm.
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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. «Faça exemplos em dimensão dois com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  3. Anton, Bivens, Davis, Howard, Irl , Stephen (2014). Cálculo Volume II. Porto Alegre: Bookman. pp. 1086,1087 
  4. Strauch, Irene. Análise Vetorial em dez aulas. [S.l.: s.n.]