Catenoide

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Uma bolha de sabão: dentre os sólidos de mesmo volume, a esfera é a que possui menor área superficial.

Uma catenóide caracteriza-se por ser a superfície de mínima área gerada pela revolução de uma catenária em torno de um eixo adequado, nomeadamente sua diretriz [Ref. 1].

Surge, a exemplo, em várias ocasiões quando está-se a brincar com películas à base de água e sabão. Um fenômeno físico denominado tensão superficial faz com que tais películas portem-se como superfícies elásticas, e por tal assumam formas que correspondem às formas de menor área possível entre todas as que satisfazem as condições de contorno impostas.

Entre todos os sólidos com volumes iguais e não nulos, a esfera é o sólido que possui a menor área superficial possível. Não obstante, as bolhas de sabão são esféricas. De forma semelhante, a catenóide constitui solução para o problema de extremização da área de superfícies que satisfazem determinadas condições de contorno, restrição agora imposta às bordas, e não ao volume, do objeto geométrico associado.

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

A catenóide é um problema típico atrelado ao cálculo das variações, área da matemática que busca determinar as funções que extremizam um dado funcional. O cálculo das variações tem aplicações importantes em Física, onde formalismos como a mecânica lagrangiana ou a mecânica hamiltoniana, formalismos em termos físicos alternativos e em tudo equivalentes ao da mecânica newtoniana, implicam ou decorrem do princípio de Hamilton, o qual extremiza uma grandeza física denominada ação[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4].

A apresentação do ferramental matemático necessário às formulações hamiltoniana e lagrangiana da mecânica em tratados sobre o assunto implicam a apresentação quase obrigatória, não apenas nos livros de cálculo mas também nos livros de Física, de problemas clássicos de extremização, a exemplos o de se determinar a menor curva contida em uma dada superfície conectando dois pontos especificados - cujas soluções definem as geodésicas da superfície, e que dá por solução uma reta quando a superfície em questão é plana, e um círculo máximo quando a superfície é esférica; o de se determinar a curva pela qual um objeto, quando abandonado em repouso em um ponto A mais alto que B, A e B não necessariamente alinhados verticalmente, escorrega sob a ação da gravidade até atingir o ponto B, fazendo-o contudo no menor tempo possível, problema conhecido como problema da braquistócrona e que tem por solução uma ciclóide; e por fim o problema da superfície de revolução passando por dois pontos especificados e que define a menor área, problema que tem por resultado a catenóide procurada. A catenária é a solução para o problema de se determinar a forma de uma corda ou cabo flexível com extremidades fixas quando sob a ação da gravidade; os fios da rede elétrica e os varais de roupa determinam curvas catenárias.

Adentrando as considerações matemáticas atreladas ao cálculo das variações e ao problema em mãos, para funcionais que possam ser escritos na forma:

[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]

onde o ponto sobre uma variável designa a derivada em relação ao parâmetro x, (), e onde x1 e x2 juntamente com suas respectivas ordenadas Y(x1) e Y(x2) associam-se a pontos fixos, o cálculo das variações dá por resultado que, para J ser um extremo, a função no integrando deve satisfazer à equação de Euler-Lagrange:

[Ref. 2] [Ref. 3] [Ref. 4]

Em física, se a função for a lagrangiana do sistema e o parâmetro x corresponder ao tempo t, extremizar J implica extremizar a ação, conforme o princípio de Hamilton.

No problema da catenóide quer-se extremizar a área A da superfície de revolução gerada pela curva y(x) que passa por dois pontos dados Y(x1) e Y(x2), de forma que J corresponde, nesse caso, à área A da superfície.

Uma catenóide construída com película de sabão. A catenária associada tem equação: , com "a" e "b" constantes adequadamente escolhidas. A catenária deve ser volvida ao redor do eixo Y a fim de se obter o catenóide. O catenóide representa a superfície com menor área que satisfaz às condições de contorno - na figura as armações de fio, em azul - inerentes à situação.

A fim de se determinar o integrando , observa-se inicialmente que curva y(x) determina, para cada ponto de abscissa x, um diferencial de caminho tal que, em notação de pontos cartesianos:

.

de onde ds, o módulo de , vale:

A área gerada pela revolução desse diferencial de caminho em torno do eixo coordenado Y, ou seja, o diferencial de área dA a ele associado, é por tal a área da superfície de um anel com raio x, perímetro e espessura :

[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]

de onde:

.

A função associada ao problema é pois:

[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]

A função y deve ser tal que f satisfaça então a equação de Euler-Lagrange. Determinado-se as derivadas nela contidas, tem-se respectivamente:

o que, inspecionando a forma da equação, implica, para a veracidade da mesma,

ou seja,

.
Cordas em suspensão determinando catenárias.

Isolando-se e integrando tem-se que:

que, consultando-se uma tabela de integrais - em particular uma lista de integrais de funções irracionais- implica uma equação em arco cosseno hiperbólico para a curva a ser volvida.

onde a e b são constantes de integração.

Isolando-se x tem-se, como afirmado na definição de catenóide, a equação de uma catenária:

[Ref. 2][Ref. 3][Ref. 4]

Os valores de a e b podem agora ser determinados impondo-se a condição de que a curva passe pelos pontos extremos conhecidos e inicialmente especificados no problema.


Referências

  1. Melo, Adson Sampaio - Dissertação de mestrado - Algumas Caracterizac»oes do Catenóide - Universidade Federal da Bahia - Salvador, Bahia - 2006
  2. a b c d e f Classical Dynamics of Particles and Systems - Thornton, Marion - 4 Edition - Sounders College Publishing - ISBN 0-03-097302-3
  3. a b c d e f Aguiar, Márcio A. M. de - Tópicos em Mecânica Clássica - 11 de novembro de 2010
  4. a b c d e f Goldstein, Rebert - Classical Mechanics - Second Edition - Addison-Wesley Publishing Company - Columbia University - ISBN 0-201-02918-9
  • Outras referências:


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Algumas Caracterizacões do Catenóide

Geometria das Superfícies Mínimas em R³ e Superfícies Máximas tipo Espaço em L³

Ver também[editar | editar código-fonte]