Classe de equivalência

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Em matemática, dado um conjunto com uma relação de equivalência , a classe de equivalência de um elemento é o subconjunto de todos os elementos de que são equivalentes a .

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • Seja ~ a relação de equivalência definida no conjunto dos números inteiros por x ~ y quando x - y for um número par. Então é um classe de equivalência, o conjunto dos número ímpares. Analogamente, é outra classe de equivalência.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se ;
  • Classes de equivalência diferentes não tem elementos em comum: Se então ;
  • Estas duas propriedades acima podem ser resumidas na seguinte: ;
  • A união de todas as classes de equivalência de um conjunto é igual ao próprio conjunto: X = [x].

Podemos reunir todas as classes de equivalência de X em um conjunto chamado conjunto quociente de X:

Note que, como para cada elemento podemos associar um elemento de , existe uma função natural de . Esta função é chamada de projeção canônica.

Representantes[editar | editar código-fonte]

Uma questão importante com uma resposta não trivial é em que condições podemos escolher, para cada classe de equivalência, um único elemento, formando, assim, um conjunto de representantes?

Para ilustrar, vamos construir o conjunto de Vitali: ele parte da relação de equivalência em definida por , e tenta obter um elemento de cada classe de equivalência. O problema é que não existe nenhuma regra explícita que permite fazer essa escolha.

Na teoria dos conjuntos, esse problema é resolvido pelo axioma da escolha, cuja forma equivalente, para classes de equivalência, é:

Seja uma relação de equivalência em um conjunto X. Então existe um conjunto que contém um (e apenas um) elemento de cada classe de equivalência.
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