Cofator (álgebra)

Em álgebra linear, cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento $a_{i,j}$ de uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$ é o número $C_{i,j}$ tal que $C_{i,j}=(-1)^{i+j}\,\ A_{i,j},$ sendo $A_{i,j}$ o determinante da matriz obtida a partir da matriz original $A$ eliminando-se a linha e a coluna que contenham o elemento $a_{i,j}.$

A matriz dos cofatores $C$, matriz formada pelos respectivos cofatores dos elementos de uma matriz $A$, pode ser usada na determinação da matriz inversa $A^{-1}$ de $A$.

Exemplo

Se

$A={\begin{pmatrix}2&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$

então o cofator do elemento $a_{2,2}$ (o número $5$) é dado por

$C_{2,2}=(-1)^{2+2}\cdot \ {\begin{vmatrix}2&3\\7&9\end{vmatrix}}=1\cdot \ (2\cdot \ 9-3\cdot \ 7)=-3$.

A matriz dos cofatores de $A$ é dada por

$C={\begin{pmatrix}C_{1,1}&C_{1,2}&C_{1,3}\\C_{2,1}&C_{2,2}&C_{2,3}\\C_{3,1}&C_{3,2}&C_{3,3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-3&-2\\-3&0&2\end{pmatrix}}$.

Bibliografia

• Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975