Combinação linear

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Em matemática uma combinação linear é uma expressão construída a partir de um conjunto de termos multiplicando-se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b são constantes).[1][2][3] O conceito de combinação linear é central na álgebra linear e em áreas relacionadas da matemática.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma combinação linear de um conjunto S de vectores de um espaço vectorial V sobre um corpo K é uma soma finita

onde e .[4][5]

Uma forma equivalente de definir a combinação linear é qualquer soma , desde que a função tenha suporte finito, isto é, seja um conjunto finito.

Conceitos relacionados[editar | editar código-fonte]

Vários conceitos dependem da noção de combinação linear:

  • O espaço vetorial gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.[4]
  • Um conjunto S de vetores diz-se linearmente dependente se o vetor nulo é uma combinação linear de vetores de S com pelo menos um escalar diferente de zero.
  • Reciprocamente, um conjunto S de vectores é linearmente independente quando a única combinação linear de S que gera o vector zero é aquela formada por coeficientes zero, ou seja,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Uma combinação linear de combinações lineares também é uma combinação linear. Em outras palavras, seja S um conjunto (não-vazio) de vectores, seja S1 um conjunto (não-vazio) em que cada elemento é uma combinação linear de vectores de S e seja v uma combinação linear de vectores de S1. Então v é uma combinação linear de vectores de S.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

  • O vector é uma combinação linear do conjunto porque . Portanto, .

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Lay, 2006
  2. Strang, 2006
  3. Axler, 2002
  4. a b Callioli, Domingues & Costa, 1990, p. 57
  5. Noble & Daniel, 1986, p. 91

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

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