Composição de funções

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Em matemática, uma função composta é criada aplicando uma função à saída, ou resultado, de uma outra função, sucessivamente. Como uma função deve possuir um domínio e contradomínio bem definidos e estamos falando de aplicar funções mais de uma vez, devemos ser precisos com relação a como estamos aplicando estas funções.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja:

e

duas funções, Se o domínio de g contiver a imagem de f, podemos definir a função composta:

como:

Isto é ilustrado na figura abaixo:

Compfun.png

Associatividade[editar | editar código-fonte]

Pode-se então estender a definição para a composição de três ou mais funções, de maneira análoga. Sejam

.

É fácil mostrar que:

Por transitividade e associatividade, define-se a função composta:

como:

De uma forma geral, basta a imagem estar contida no domínio de g para podermos definir a função composta (a definição rigorosa seria uma composição com a função inclusão).

Potência de uma função[editar | editar código-fonte]

Seja . Neste caso, pode-se definir , , etc. Pode-se portanto definir (por indução: ) para . Definindo-se:

Chega-se facilmente a:

Eventualmente, conforme a estrutura do conjunto A e da função f, é possível estender a definição de para n inteiro (ou mesmo outros superconjuntos dos naturais).

Ver também[editar | editar código-fonte]

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