Conectivo lógico bicondicional

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Na Lógica e Matemática, a Lógica bicondicional (também conhecida como bicondicional material) é o Conectivo lógico de duas proposições afirmando "p se e somente se q", onde q é uma Hipótese (ou antecedente) e p é um conclusão (ou consequente).[1] Isso é frequentemente abreviado p sse q. O operador é denotado usando uma seta de dupla implicação (↔), a prefixed E (Epq), um sinal de igualdade (=),um sinal de equivalência (≡), ou EQV. Isso é logicamente equivalente a (p → q) ∧ (q → p), ou o XNOR (nor exclusivo) operador da Álgebra_booleana.Isto é equivalente a "(não p ou q) e (não q ou p)". Também é logicamente equivalente a "(p e q) ou (não p e não q)",significando "os dois ou nenhum".

A única diferença paraCondicional_material é o caso no qual a hipótese é falsa mas a conclusão é verdadeira. Neste caso, na condicional, o resultado é verdadeiro, contudo, na bicondicional o resultado é falso.

Na interpretação conceitual, a = b significa "Todos os a 's são b 's e todos os b 's são a 's"; Em outras palavras, os conjuntos a e b coincidem: eles são idênticos. Isso não significa que todos os conceitos têm o mesmo significado. Exemplos: "triângulo" e "trilateral", "triângulo equiangular" e "triângulo equilátero". O antecedente é o "sujeito" e o consequente é o e predicado de uma afirmativa/ Proposição universal.

Na interpretação proposicional, ab significa que a implica b e b implica a; em outras palavras, que as proposições são equivalentes, o que é dizer, ambas são verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Isso não significa que elas tem o mesmo significado. Exemplo: "O triângulo ABC tem dois lados iguais", e "O triângulo ABC tem 2 ângulos iguais". O antecedente é a premissa ou a causa e o consequente é a consequência. Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional) O antecedente é chamado de "hipótese (ou de condição) e o consequente é chamado de tese.

Uma forma comum de se demonstrar um bicondicional é usar sua equivalência para a conjunção de duas condicionais ,em que há uma troca entre a hipótese e a conclusão, as demonstrando separadamente.

Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser dividida em duas condicionais, na qual uma é chamada de teoremae a outra é sua recíproca.[carece de fontes?]Assim, sempre que um teorema e sua recíproca são verdadeiros, temos um bicondicional. Um simples teorema dá origem a uma implicação cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema. condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência. Muitas vezes é dito que a hipótese é a condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência.

Definição[editar | editar código-fonte]

Igualdade_lógica (Também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois [[Valor_de_verdade]| valores verdade], tipicamente, o valor de duas proposições, que produzem o valor verdadeirose e somente se ambos os operandos são falsos ou ambos os operandos são verdadeiros.

Tabela verdade[editar | editar código-fonte]

A tabela verdade para (também escritos como A ≡ B, A = B, or A EQ B) como a seguir:

INPUT OUTPUT
A B A B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Mais de duas proposições combinadas por são ambíguas:

pode estar significando ,

Ou pode ser usado para dizer que todos os são todos verdadeiros ou todos falsos:

Só para o zero ou para dois argumentos isso é o mesmo.

As próximas tabelas verdades mostram o mesmo padrão apenas na linha com nenhum argumento e nas linhas com dois argumentos:


concebido como equivalente a


O diagrama de Venn central abaixo,
e a linha (ABC  ) nesta matriz
representam a mesma operação.

concebido como uma simplificação para



O diagrama de bem exatamente abaixo,
e a linha (ABC  )nesta matriz
representam a mesma operação.


The left Venn diagram below, and the lines (AB    ) in these matrices represent the same operation.

Diagramas de Venn[editar | editar código-fonte]

As áreas vermelhas representam verdadeiro (como em Venn0001.svg para Disjunção_lógica|e).

Venn1001.svg
A bicondicional de duas proposições
é a Negação da ou exclusivo:

Venn1001.svg Venn0110.svg

Venn 0110 1001.svg
O bicondicional e o
ou exclusivo de três proposições
dá o mesmo resultado:


Venn 1001 1001.svg Venn 0000 1111.svg

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Venn 1000 0001.svg
Mas
pode também ser usado como uma abreviação
para

Venn 1001 1001.svg Venn 1100 0011.svg Venn 1000 0001.svg

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Comutatividade: sim

        
Venn1001.svg          Venn1001.svg

Associatividade: sim

        
Venn 0101 0101.svg Venn 1100 0011.svg          Venn 0110 1001.svg          Venn 1001 1001.svg Venn 0000 1111.svg

Distributividade: Bicondicionais dão distribuem entre nenhuma função binária (nem a si mesmo),
Mas a disjunção lógica (veja aqui)se distribui sobre bicondicionais.

Função_monótona: não

                 
Venn01.svg Venn01.svg          Venn11.svg          Venn01.svg

monotonicity: no

        
Venn 1011 1011.svg          Venn 1101 1011.svg          Venn 1010 0101.svg Venn 1100 0011.svg

verdade preservada: sim
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.

        
Venn0001.svg          Venn1001.svg

falsidade de preservação: não
Quando todos as entradas são falsas, a saída não é falsa.

         Falhou ao verificar gramática (MathML, alternativamente SVG ou PNG (recomendado para navegadores mais modernos e ferramentas de acessibilidade): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle A \or B}
Venn1001.svg          Venn0111.svg

Walsh spectrum: (2,0,0,2)

Nãolinearidade: 0 (a função é linear)

Regras de inferência[editar | editar código-fonte]

Como todos os conectivos em lógica de primeira ordem, a bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.

introdução bicondicional[editar | editar código-fonte]

Introdução_Bicondicional permite inferir que, se B se segue a partir de A, e A Decorre B, então A Se_e_somente_se B. Por exemplo, a partir das declarações "se eu estou respirando, então eu estou vivo" e "se eu estou vivo, então eu estou respirando", pode-se inferir que "eu estou respirando, se e somente se eu estiver vivo "ou, igualmente inferível:" Eu estou vivo, se e somente se eu estou respirando. "

 B → A   
 A → B   
 ∴  A ↔ B
 B → A   
 A → B   
 ∴  B ↔ A

Eliminação da bicondicional[editar | editar código-fonte]

Eliminação Biconditional permite inferir uma a condicional de um bicondicional: if (A ↔ B) é verdadeira, então pode-se inferir um sentido da bicondicional, (A → B) e (B → A).

Por exemplo, se é verdade que eu estou respirando, se e somente se, eu estou vivo, então é verdade que se eu estou respirando, eu estou vivo, do mesmo modo, é verdade que se eu estou vivo, eu estou respirando . formalmente:

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( A → B )

também

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( B → A )

Uso coloquial[editar | editar código-fonte]

Uma maneira inequívoca de afirmar uma bicondicional em português é da forma "b se um e se b". Outra é "a se e somente se b". Um pouco mais formal, pode-se dizer "b implica a e a implica b". Em português "se" pode às vezes ser usado como um bicondicional. É preciso pesar contexto fortemente.

Por exemplo, "eu vou te comprar uma nova carteira, se você precisa de uma" pode ser entendida como uma bicondicional, uma vez que o orador não tem a intenção de um resultado válido para estar comprando a carteira ou não a carteira é necessário (como em uma condicional). No entanto, "está nublado, se está chovendo" não é concebida como um bicondicional, uma vez que pode ser nublado, enquanto não chover.

ver também[editar | editar código-fonte]

Portal A Wikipédia possui o portal:
  • Thinking

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Handbook of Logic, page 81

References[editar | editar código-fonte]

Predefinição:Logical connectives Este artigo incorpora material de Biconditional do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.