Conjectura de Agoh–Giuga

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Problemas não resolvidos em matemática
Um número p é primo se e somente se
 , ou seja, se ?
Problema não resolvido.

Conjectura de Agoh-Giuga é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos e os números de Bernoulli. Seu nome é homenagem a Takashi Agoh e Giuseppe Giuga. [1] [2]

Conjectura[editar | editar código-fonte]

conjectura afirma que, p é um número primo se e somente se

 

Onde Bk é o k-ésimo número de Bernoulli.

Esta é a formulação atual da conjectura é de 1990, devido a Agoh. Uma formulação equivalente, feita por Giuga em 1950, afirma que p é um número primo se

equação que também pode ser escrita da seguinte forma utilizando notação de somatório:

É fácil mostrar que p ser primo é condição suficiente para o lado esquerdo da equivalência ser satisfeito, uma vez que podemos utilizar o pequeno teorema de Fermat, que enuncia que, se p é primo,

para , e a equivalência segue como consequência direta, já que 

Status[editar | editar código-fonte]

A conjectura ainda não foi provada para um número n quando este não é primo (ou seja, quando n é composto). Apesar disso, já foi demonstrado que um número composton satisfaz a fórmula se e somente se este é um número de Carmichael e um número de Giuga, e se este de fato existir, tem pelo menos 13800 dígitos.[3] Laerte Sorini, em um trabalho de 2001, mostrou que um possível contra-exemplo deve ser um número n maior que   1036067. [4]

Relações com o Teorema de Wilson[editar | editar código-fonte]

A conjectura de Agoh–Giuga guarda certas semelhanças com o Teorema de Wilson, que já foi provado como sendo verdadeiro.

O Teorema de Wilson nos diz que p é um número primo se e somente se

onde pode ser reescrito usando a notação de produtório como:

Para p primo ímpar

enquanto para p=2 (o único primo par), temos que:

Então, a veracidade da Conjectura de Agoh–Giuga combinada com o Teorema de Wilson nos fornece a seguinte afirmação: 

Um número p é primo se e somente se  

e

Programa em Python[editar | editar código-fonte]

Vários tipos de programas podem ser feitos para testar a conjectura de Agoh-Giuga, sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que testa a conjectura para os números entre 1 e 500: [5]

listnumbers = range(1,500)
for i in listnumbers:
    sum = 0
    value = 1
    while value <= i-1:
        sum+=value**(i-1)
        value+=1
        if ((sum%i)+1)%i == 0:
            print("%d é primo pela conjectura de Agoh-Giuga!"%(i))

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Giuga, Giuseppe. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi.
  2. «Giuga's conjecture» (PDF). Consultado em 7 de janeiro de 2017. Arquivado do original (PDF) em 31 de maio de 2005 
  3. (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996)
  4. Sorini, Laerte. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga
  5. «Giuga's conjecture» (PDF). Consultado em 7 de janeiro de 2017. Arquivado do original (PDF) em 31 de maio de 2005