Conjectura de Beal

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A conjectura de Beal é a seguinte conjectura em teoria dos números:

Se
e A, B, C, x, y, e z são números inteiros positivos, com x, y, z > 2, então A, B, e C possuem um fator primo em comum.

Equivalentemente,

Não existem soluções para a equação acima em que A, B, C, x, y, z sejam números inteiros positivos, A, B, e C sejam dois a dois primos entre si e x, y, z sejam todos maiores do que 2.

A conjectura foi formulada em 1993 por Andrew Beal, um banqueiro e matemático amador, enquanto investigava generalizações do último teorema de Fermat.[1][2] Desde 1997, Beal oferece um prêmio em dinheiro por um contraexemplo ou uma demonstração que seja publicada em uma revista revisada por pares. O valor do prêmio aumentou várias vezes e é atualmente de US $1.000.000.

Em alguns locais, esta conjectura tem sido ocasionalmente referida como uma generalização da equação de Fermat,[3] a conjectura de Mauldin,[4] e a conjectura de Tijdeman-Zagier.[5][6]

Exemplos relacionados[editar | editar código-fonte]

Para ilustrar, as bases da solução têm o 3 como um fator comum, a tem bases com o fator comum 7, e tem bases com um fator comum 2. De fato, a equação tem um número infinito de soluções, em que as bases compartilham um fator comum, incluindo generalizações dos três exemplos acima, respectivamente

e

Além disso, para cada solução (com ou sem bases primas entre si), há um número infinito de soluções com o mesmo conjunto de expoentes e um conjunto crescente de bases não primas entre si. Isto é, para a solução

tem-se também

em que

Todas as da conjectura de Beal envolverão necessariamente três termos que são números 3-poderosos, isto é, números, onde cujo expoente de cada fator primo é, no mínimo, três. Sabe-se que há um número infinito de tais somas envolvendo números primos entre si 3-poderosos;[7] no entanto, tais somas são raras. O menor de dois exemplos são:

O que distingue a conjectura de Beal é que ela requer que cada um dos três termos sejam expressos como uma única potência.

Relação com outras conjecturas[editar | editar código-fonte]

O último teorema de Fermat estabeleceu que não possui solução para n > 2 para números inteiros positivos A, B, e C. Se existisse alguma solução da equação do último teorema de Fermat, então ao dividir cada parcela pelos fatores comuns, seria obtida uma solução com A, B e C primos entre si. Assim, o último teorema de Fermat pode ser visto como um caso especial da conjectura de Beal, restrita ao caso x = y = z.

Segundo a conjectura de Fermat–Catalan, a equação  só possui uma quantidade finita de soluções em que A, B, e C sejam inteiros positivos sem fatores primos em comum e x, y, e z sejam inteiros positivos satisfazendo A conjectura de Beal pode ser reformulada como "Todas as soluções da conjectura de Fermat–Catalan terão 2 como um dos expoentes."

Se a conjectura abc se mostrar verdadeira, ela implicará que há no máximo uma quantidade finita de contraexemplos para a  conjectura de Beal.

Resultados parciais[editar | editar código-fonte]

Nos casos abaixo em que 2 é um expoente, os múltiplos de 2 também estão provados, uma vez que uma potência pode ser elevada ao quadrado. Analogamente, quando n é um expoente, os múltiplos de n também estão comprovados.

  • O caso em que mdc(x, y, z) > 2 é uma consequência do último teorema de Fermat.
  • Pierre de Fermat demonstrou nos anos 1600s que o caso em que (x, y, z) = (2, 4, 4), bem como todas as suas permutações, não possui soluções. (Ver uma demonstração aqui para o caso em que x = 2 ou y = 2.)
  • Uma classe de soluções em potencial para a equação, a saber, aquelas em que A, B, C também formam um terno pitagórico, foi considerada por L. Jesmanowicz na década de 1950. J. Jozefiak provou que há uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos que não podem satisfazer a equação de Beal. Outros resultados são devidos a Chao Ko.[8]
  • O caso x = y = z é o último teorema de Fermat, demonstrado por Andrew Wiles em 1994.[9]
  • Os casos (x,y,z) = (2,n,n) e (3,n,n) foram provados por Darmon e Merel em 1995.
  • O caso (x, y, z) = (n, 4, 4) e todas as suas permutações foi demonstrado para n ≥ 2.[10]
  • A impossibilidade do caso em que A = 1 ou B = 1 é uma consequência da conjectura de Catalan, demonstrada em 2002 por Preda Mihăilescu. (note que C não pode ser 1, ou então A ou B precisariam ser 0, o que não é permitido.)
  • Para o caso (x, y, z) = (2, 3, 7), e todas as suas permutações, foi demonstrado que só existem cinco soluções, nenhuma delas envolvendo uma potência par maior do que 2, por Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer, e Michael Stoll em 2005.[11]
  • Sabe-se que o caso (x, y, z) = (2, 3, 8) e todas as suas permutações têm apenas três soluções, nenhuma delas envolvendo uma potência par maior do que 2.
  • Sabe-se que o caso (x, y, z) = (2, 3, 9) e todas as suas permutações têm apenas duas soluções, nenhuma delas envolvendo uma potência par maior do que 2.[12]
  • O caso (x, y, z) = (2, 3, 10) e todas as suas permutações foi demonstrado por David Brown em 2009.[13]
  • O caso (x, y, z) = (2, 4, n) e todas as suas permutações foi demonstrado para n ≥ 4 por Michael Bennet, Jordan Ellenberg, e Nathan Ng em 2009.[14]
  • O caso (x, y, z) = (2, 3, 15) e todas as suas permutações foi demonstrado por Samir Siksek e Michael Stoll em 2013.[15]
  • O caso (x, y, z) = (3, 3, n) e todas as suas permutações foi demonstrado para 3 ≤ n ≤ 10000 exceto n = 7, 11, e 13.
  • Os casos (5, 5, 7), (5, 5, 19), e (7, 7, 5) e todas as suas permutações foram por Sander R. Dahmen e Samir Siksek em 2013.[16]
  • O teorema de Darmon–Granville utiliza o teorema de Faltings para mostrar que para qualquer escolha específica de expoentes (x, y, z), há no máximo uma quantidade finita de soluções.[17]:p. 64
  • Peter Norvig, diretor de pesquisa do Google, relatou ter conduzido uma série de buscas numéricas por contraexemplos para a conjectura de Beal. Entre seus resultados, ele excluiu todas as possíveis soluções tendo tanto x, y, z ≤ 7 quanto A, B, C ≤ 250,000, bem como possíveis soluções tendo x, y, z ≤ 100 e A, B, C ≤ 10,000.[18]

Prêmio[editar | editar código-fonte]

Por uma demonstração ou contraexemplo publicada em um jornal revisado por pares, o banqueiro Andrew Beal ofereceu, inicialmente, um prêmio de US $5.000 em 1997, aumentando-o para $50.000 ao longo de dez anos,[19] mas, desde então, aumentou o valor para US $1.000.000.[20]

A American Mathematical Society (AMS) detém o prêmio de US $1 milhão em uma relação de confiança até que a conjectura de Beal seja é resolvida.[21] Ela é supervisionada pelo comitê do prêmio Beal (BPC), que é nomeado pelo presidente da AMS.[22]

Variantes[editar | editar código-fonte]

Os contraexemplos e mostram que a conjectura seria falsa se fosse permitido que um dos expoentes fosse 2. A conjectura de Fermat–Catalan é um problema em aberto que lida com tais casos.

Uma variação da conjectura, que afirma que x, y, z (em vez de A, B, C) deve ter um fator primo em comum, não é verdade. Um contra-exemplo é em que 4, 3, e 7 não têm nenhum fator primo em comum. (Na verdade, o maior fator primo comum dos expoentes que é válido é 2; um fator comum maior do que 2 seria um contra-exemplo para o último teorema de Fermat.)

A conjectura não é válida no domínio maior dos inteiros de Gauss. Depois de um prêmio de US $50 ser oferecido em troca de um contraexemplo, Fred W. Helenius forneceu [23]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. «Beal Conjecture». American Mathematical Society. Consultado em 21 de agosto de 2016 
  2. «Beal Conjecture». Bealconjecture.com. Consultado em 6 de março de 2014 
  3. Bennett, Michael A.; Chen, Imin; Dahmen, Sander R.; Yazdani, Soroosh (junho de 2014). «Generalized Fermat Equations: A Miscellany» (PDF). Simon Fraser University. Consultado em 1 de outubro de 2016 
  4. «Mauldin / Tijdeman-Zagier Conjecture». Prime Puzzles. Consultado em 1 de outubro de 2016 
  5. Elkies, Noam D. (2007). «The ABC's of Number Theory» (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 1 (1) 
  6. Michel Waldschmidt (2004). «Open Diophantine Problems». Moscow Mathematics. 4: 245–305 
  7. Nitaj, Abderrahmane (1995). «On A Conjecture of Erdos on 3-Powerful Numbers». Bulletin of the London Mathematical Society. 27 (4): 317–318. doi:10.1112/blms/27.4.317 
  8. Wacław Sierpiński, Pythagorean triangles, Dover, 2003, p. 55 (orig. Graduate School of Science, Yeshiva University, 1962).
  9. «Billionaire Offers $1 Million to Solve Math Problem | ABC News Blogs – Yahoo» 
  10. «The generalized Fermat equation» (PDF) 
  11. «Twists of X(7) and primitive solutions to x2 + y3 = z7». Duke Mathematical Journal. 137. arXiv:math/0508174v1Acessível livremente. doi:10.1215/S0012-7094-07-13714-1 
  12. Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0387-25282-7 
  13. arXiv:0911.2932Acessível livremente  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)|nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)
  14. «The Diophantine Equation» (PDF) 
  15. «The Generalised Fermat Equation x2 + y3 = z15». Archiv der Mathematik. 102. arXiv:1309.4421Acessível livremente. doi:10.1007/s00013-014-0639-z 
  16. arXiv:1309.4030Acessível livremente  |nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)|nome1= sem |sobrenome1= em Authors list (ajuda); Em falta ou vazio |título= (ajuda)
  17. «On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr». Bulletin of the London Mathematical Society. 27 
  18. «Beal's Conjecture: A Search for Counterexamples» 
  19. «A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem» (PDF). Notices of the AMS. 44 
  20. «Beal Prize» 
  21. «If You Can Solve This Math Problem, Then A Texas Banker Will Give You $1 Million» 
  22. «$1 Million Math Problem: Banker D. Andrew Beal Offers Award To Crack Conjecture Unsolved For 30 Years» 
  23. «Neglected Gaussians» 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]