Conjectura de Collatz

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A sequência de Collatz começando em 127. A sequência sobe até o máximo 4372 antes de alcançar o 4, 2, 1.

A conjectura de Collatz é uma conjectura matemática que recebeu este nome em referência ao matemático alemão Lothar Collatz, que foi o primeiro a propô-lo, em 1937.[1]

Além desse nome, este problema também é conhecido por Problema 3x + 1, Conjectura de Ulam (pelo matemático polonês-americano Stanisław Marcin Ulam), Problema de Kakutani (pelo matemático nipo-americano Shizuo Kakutani), Conjectura de Thwaites (pelo acadêmico britânico Bryan Thwaites), Algoritmo de Hasse (pelo matemático alemão Helmut Hasse) ou Problema de Siracusa.[1]

Esta conjectura aplica-se a qualquer número natural, e diz-nos para, se este número for par, o dividir por 2 (/2), e se for impar, para multiplicar por 3 e adicionar 1 (*3+1). Desta forma, por exemplo, se a sequência iniciar com o número 5 ter-se-á: 5; 16; 8; 4; 2; 1. A conjectura apresenta uma regra dizendo que, qualquer número natural, quando aplicado a esta regra, eventualmente sempre chegará a 4, que se converte em 2 e termina em 1. Essa sequência em questão também pode ser chamada de Números de Granizo ou Números Maravilhosos. A explicação destes últimos nomes está em "como o granizo nas nuvens antes de cair, os números saltam de um lugar ao outro antes de chegar ao 4, 2, 1".[1]

O matemático alemão Gerhard Opfer publicou em maio de 2011 um artigo com o teorema que supostamente provava esta conjectura, causando alvoroço na comunidade matemática.[2]. Em 17 de julho de 2011, entretanto, o autor publicou uma nota, na última página de seu artigo, onde reconhecia que uma de suas afirmações estava incompleta, o que não garantia a ele a prova do problema.

A sequência de Collatz começando em 77031. Esta é a maior sequência obtida para x menor que 100000.

A Tabela a seguir descreve a porcentagem de números pares e ímpares para a quantidade de números dados. Em geral, ocorre o dobro de números pares em relação aos ímpares conforme mostrado nessa tabela.

Quantidade x 10 100 1000 10000 100000
 %Par 5,00 21,37 39,88 56,76 71,88
 %Ímpar 2,70 11,05 20,65 29,20 36,64

Enunciado do problema[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte operação em um número inteiro positivo arbitrário qual que:

  • Se o número é par, divida-o por 2;
  • Se é ímpar, multiplique-o por 3 e some 1

Em notação aritmética, a função é definida tal que:

Implementações de computador[editar | editar código-fonte]

Na linguagem Python:

def collatz(x):
    while x > 1:
        if x % 2 == 0:
            x /= 2
        else:
            x = 3*x+1

Na linguagem Java:

static void collatz(int x) {
	System.out.println(x);
	if (x>1) {
		collatz( (x%2==0) ? x/2 : (3*x+1) );
	}
}

Na linguagem C:

void collatz(int x){
	printf("%d ", x);	
	if (x == 1){
		return;
	} else if (x % 2 == 0){		
		collatz(x/2);
	} else{
		collatz(3*x+1);
	}
}

Na linguagem PHP:

function collatz($x){
	if($x == 1){
		return $x; 
	}else if($x % 2 == 0){
		$result = $x / 2;
		return collatz($result);
	}else{
		$result = ($x * 3) + 1;
		return collatz($result);
	}
}

Importância[editar | editar código-fonte]

Segundo o matemático Greg Muller, a importância desta conjectura está em que "os matemáticos suspeitam que solucionar a conjectura de Collatz abrirá novos horizontes e desenvolverá novas e importantes técnicas na teoria dos números".[1]Derek Jennings comenta que "outra razão é que, por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática. Eu mesmo soube de sua existência no ensino médio e não resisti a seu encanto".[1]

Referências

  1. a b c d e bbc.com/ Por que um problema simples é um dos buracos negros da matemática
  2. An analytic approach to the Collatz 3n + 1 Problem (em inglês)
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