Conjunto

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Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos[1] . A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.[2]

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. [3]

Importância[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.

Notação matemática[editar | editar código-fonte]

É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por meio de uma:

  1. lista os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
  2. definição de uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell, em Principia mathematica);
  3. representação gráfica.

A notação padrão em Matemática lista os elementos separados por vírgulas e delimitados por chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:

Um conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos triângulos retângulos" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.[2] O mesmo conjunto A do parágrafo anterior poderia ser representado por uma regra:

ou ainda:

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por : ou por |. Também é possível representar graficamente os conjuntos. O Diagrama de Venn-Euler é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Conceitos essenciais[editar | editar código-fonte]

  • Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
  • Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por letras minúsculas;
  • Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se é um elemento de podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever Se não é um elemento de nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever

Subconjuntos próprios e impróprios[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Subconjunto

Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto denotado por Note que esta definição inclui o caso em que e possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a então é chamado de subconjunto próprio de denotado por Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de subconjunto próprio, e é chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto vazio

É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos {} ou ∅. Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação {∅}, pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um conjunto unitário. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por { } ou

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Cardinalidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph-0),

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto é denotada por Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então

Conjunto potência ou de partes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Conjunto de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de denotado por O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado A finito, com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos ou o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de A é ou seja, a cardinalidade do conjunto das partes de A é igual a Como existe uma bijecção entre o conjunto das partes de A e o conjunto é usual representar-se P(A) por

O Teorema de Cantor estabelece que

Produto cartesiano[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

Operações com conjuntos[editar | editar código-fonte]

De maneira semelhante ao que ocorre com os números, também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados diagramas de Venn para ilustrar.

Operação Operador Definição Exemplo
União A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos ou ou a ambos. A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por
Interseção A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e
Complementar B A complementar é o mesmo que dizer ) entre dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que o conjunto precisa para ser igual ao conjunto ou seja são os elementos que se encontram em e que não estão em
B
Diferença ou A diferença (ou ) entre dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem a e que não pertencem a

Conjuntos compostos por números[editar | editar código-fonte]

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r, s, t e u são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
  2. Números primos aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  3. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  4. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  5. Números irracionais são números reais que não são números racionais. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  6. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
  7. Números transcendentais são números reais que não são números algébricos. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  8. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: análise real.)
  9. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
  10. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: O símbolo usualmente representa este conjunto.
  11. Números quaterniões é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: O símbolo usualmente representa este conjunto.
  12. Números octoniões é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  13. Números complexos hiperbólicos é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz e Os números complexos hiperbólicos são da forma Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero. O símbolo usualmente representa este conjunto.
  14. Números p-ádicos são uma extensão dos números inteiros, onde p é um número primo. Os símbolos usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo p)
  15. Números ordinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Não existe o conjunto dos números ordinais.
  16. Números cardinais aparecem em Teoria dos Conjuntos. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

Referências

  1. «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» (PDF) (em alemão). Georg Cantor. doi:10.1007/bf02124929. 
  2. a b LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2. ISBN 9788524401183
  3. Conjuntos

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O wikilivro Matemática elementar tem uma página intitulada Conjuntos
O Commons possui uma categoria contendo imagens e outros ficheiros sobre Conjunto



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