Conjunto convexo

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Um conjunto convexo.

Na geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas.[1] Mais especificamente, em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região,[2] cada ponto no segmento de reta que une o par de pontos também está dentro da região. Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo.

O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo de A. É o menor conjunto convexo contendo A.

Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.[3]

Um conjunto côncavo.

Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.

Ou seja:

Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Espaços afins;[3]
  • Os sólidos platónicos;
  • Os segmentos de recta;
  • Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
  • O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como . Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares para alguma matriz é convexo e é chamado de poliedro;[3]
  • Uma -vizinhança tal que [3]

Combinação convexa[editar | editar código-fonte]

A combinação convexa dos vetores é um vetor da forma

onde .[3]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Valem as seguintes propriedades:

  • é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a pertence a .[3]
  • Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
  • Se é um conjunto convexo e é uma variável aleatória que pertence a como probabilidade . Então .

Operações que preservam convexidade[editar | editar código-fonte]

  • Interseção: se são conjuntos convexos, então é convexo.[3]
  • Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se é convexo e é afim, então é convexa. Exemplos: se é convexo então (translação de ) e (multiplicação por um escalar) são convexos.
  • Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se é afim e é convexo então
  • Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo: é convexo então é convexo.
  • Soma de dois conjuntos
  • Produto cartesiano de dois conjuntos

Ver também[editar | editar código-fonte]

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  1. Bachem, Achim; Kern, Walter (6 de dezembro de 2012). Linear Programming Duality: An Introduction to Oriented Matroids (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642581526 
  2. Morris, Carla C.; Stark, Robert M. (24 de agosto de 2015). Finite Mathematics: Models and Applications (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781119015383 
  3. a b c d e f g Guigues, Vincent. Notas de aula de Modelagem Matemática 3. FGV, 2018