Conjunto de partes

A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência) de $A$, denotado por ${\mathfrak {P}}(A)$ ou $2^{A}$.

Exemplo

Diagrama de Hasse das inclusões entre os subconjuntos de $A$.

Se $S$ é o conjunto de três elementos $\{x,y,z\}$ a lista completa de subconjuntos de $A$ é:

• $\{\}$ (o conjunto vazio);
• $\{x\}$;
• $\{y\}$;
• $\{z\}$;
• $\{x,y\}$;
• $\{x,z\}$;
• $\{y,z\}$;
• $\{x,y,x\}$;

e portanto o conjunto de partes de $A$ é o conjunto de oito elementos:

${\mathfrak {P}}(S)=\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}$.

Cardinalidade

O número de elementos do conjunto de partes de $A$ é sempre maior que o número de elementos de $A$, mesmo no caso de $A$ ter um número infinito de elementos.

Se $A$ tem $n$ elementos, pode-se provar que ${\mathfrak {P}}(A)$ tem $2^{n}$ elementos. No caso de $A$ ser um conjunto infinito, define-se $2^{|A|}=|{\mathfrak {P}}(A)|$ (em que $|A|$ representa o número de elementos de $A$). Por outro lado, sendo $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |$, também pode ser provado que $2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |$.

A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre $\mathbb {N}$ e ${\mathfrak {P}}(A)$, ou seja, um conjunto com mais elementos que $\mathbb {N}$ e menos elementos que ${\mathfrak {P}}(A)$.

Teoria dos Conjuntos

Na teoria dos conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.

Ver também

• Wikilivro — b:Matemática elementar/Conjuntos, com a demonstração de que ${\mathfrak {P}}(A)$ tem $2^{|A|}$ elementos.