Conjunto denso em lugar nenhum

Em topologia, um subconjunto $S$ de um espaço topológico $X$ é dito denso em lugar nenhum (ou ainda, nunca denso) se o interior do fecho de $S$ é vazio. Em símbolos, se $(X,\tau )\,$ é um espaço topológico, um conjunto $S\subset X\,$ é dito denso em lugar nenhum se:

${\text{int}}\left({\overline {S}}\right)=\emptyset$

Note que a ordem das operações é importante. Por exemplo, o conjunto dos números racionais, é um subconjunto de $\mathbb {R}$ para o qual o fecho do interior é vazio, mas nem por isso os números racionais formam um conjunto denso em lugar nenhum. De fato, ele é um conjunto denso em $\mathbb {R}$, e está é justamente a noção oposta.

Exemplos

Os números inteiros formam um subconjunto da reta real $\mathbb {R}$ que é denso em lugar nenhum.

Propriedades

• A interseção de conjuntos nunca densos é um conjunto nunca denso.

Veja também

• Espaço de Baire
• Conjunto magro
• Teorema da categoria de Baire

Ligações externas

• Alguns conjuntos densos em lugar nenhum que têm medida positiva (em inglês)