Conjunto errante

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Nos ramos da matemática e da teoria dos sistemas dinâmicos, o conceito de conjunto errante formaliza a idéia de movimento em tais sistemas. Quando um sistema dinâmico possui um conjunto errante de medida positiva, ele é dito dissipativo. Este comportamento é distinto do que ocorre num sistema conservativo, onde vale o teorema da recorrência de Poincaré. Intuitivamente, a conexão entre conjuntos errantes e dissipação é facilmente entendida: se uma porção do sistema "erra" de acordo com a evolução temporal do sistema, a partir de um determinado tempo ele nunca retorna à sua posição original.


Pontos errantes[editar | editar código-fonte]

A definição de ponto errante para sistemas dinâmicos discretos é a seguinte: Seja uma aplicação contínua, onde é um espaço topológico. Um ponto é dito errante com respeito a , ou simplesmente errante, caso existam vizinhança de em e tais que , para todo . O conjunto de todos os pontos errantes de é chamado de conjunto errante de .

De forma análoga, seja um fluxo contínuo sobre uma variedade diferenciável . Dizemos que um ponto é errante caso existam vizinhança de em e tais que para todo , .

Propriedades do conjunto errante[editar | editar código-fonte]

  • O conjunto errante de é um subconjunto aberto de .
  • O complementar do conjunto errante de é chamado de conjunto não-errante de , e é denotado por .
  • Todo ponto recorrente é não-errante.
  • É possível mostrar que o conjunto não-errante de um difeomorfismo ou um fluxo sobre uma variedade compacta é sempre não-vazio.
  • Se é um difeomorfismo de Anosov sobre uma variedade compacta, então os pontos periódicos de são densos em .