Conjunto pré-compacto

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Em matemática, um conjunto em um espaço topológico é dito pré-compacto ou totalmente limitado se seu fecho é um conjunto compacto.

Em topologia e em áreas relacionadas da matemática, um conjunto totalmente limitado é um espaço que pode ser coberto por um número finito de subconjuntos de qualquer ``tamanho" pré-fixado (onde o significado de tamanho aqui depende do contexto). Quanto menor o tamanho fixado, mais subconjuntos serão necessários, mas qualquer tamanho específico pré-fixado deve apenas demandar um número finito de subconjuntos. Uma noção relacionada é a de conjunto totalmente limitado, no qual apenas um subconjunto do espaço precisa ser coberto. Todo subconjunto de um espaço totalmente limitado é um conjunto totalmente limitado; porém, mesmo se um espaço não é totalmente limitado, alguns de seus subconjuntos ainda serão.

O termo pré-compacto é, por vezes usado com o mesmo significado, mas 'pré-compacto' é também usado para designar relativamente compactos. Num espaço métrico completo, estes significados coincidem, mas em geral não.

Definição para um Espaço Métrico[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico  (M,d) é totalmente limitado se, e somente se, para todo número real  \epsilon >0  existe um subconjunto finito  F de  M tal que para cada  m em  M temos  d(m, F)< \epsilon . Note que  F depende de  \epsilon .

Todo espaço totalmente limitado é limitado, mas a recíproca não é verdadeira em geral. Por exemplo, um conjunto infinito com a métrica discreta é limitado mas não totalmente limitado.

Se M é um espaço euclidiano e d é a distância euclidiana, então um subconjunto (com a topologia induzida) é totalmente limitado se, e somente se, é limitado.

Definição em Outros Contextos[editar | editar código-fonte]

A forma lógica simbólica geral para a definição é: Um subconjunto S de um espaço X é um conjunto totalmente limitado se, e somente se, dado qualquer tamanho E, existe um número natural n e uma família A1, A2, ..., An de subconjuntos de X, tal que S está contido na união desta família (em outras palavras, a família é uma cobertura finita de S),e tal que cada conjunto Ai da família é de tamanho E (ou menor). Simbolicamente:

 \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{ e }\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{tamanho}(A_{i}) \leq E \right ). \!

O espaço X é um espaço totalmente limitado se, e somente se é um conjunto totalmente limitado quando considerado como um subconjunto de si próprio.

(Pode-se também definir espaços totalmente limitados diretamente, e então definir um conjunto como totalmente limitado se, e somente se é totalmente limitado quando considerado como um subspaço.)


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