Constante de Euler-Mascheroni
A constante de Euler-Mascheroni (também chamada de constante de Euler) é uma constante matemática, geralmente denotada pela letra grega gama ( ) , com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.
que pode ser condensada assim :
em que E(x) é a parte inteira de x.
A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.
As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de
Valor aproximado[editar | editar código-fonte]
As 100 primeiras casas decimais dessa constante são
- γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495
Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 casas decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.
História[editar | editar código-fonte]
A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)
Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).
Convergência[editar | editar código-fonte]
Como podemos escrever:
Como
Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:
Essa última expressão corresponde à
Que é a série telescópica Dessa forma,
Propriedades[editar | editar código-fonte]
O número não foi provado que seja algébrico ou transcendente, e , nem sequer se conhece se é irracional ou não[1]. A análise de frações contínuas revela que se é racional, seu denominador deve ser da ordem de [2]. Devido ao fato de estar presente em um grande número de equações e relações, a racionalidade ou irracionalidade de está os problemas abertos mais importantes da Matemática.
A seguir estão apresentadas as relações mais importantes de com funções, séries e integrais.
Representação Original (Euler)[editar | editar código-fonte]
Foi descoberta em 1734, por Euler, representando como uma série infinita da seguinte forma:
Relação com a Função Gama[editar | editar código-fonte]
Se tomarmos a função gama, derivando-a e analisando-a em 1, obtemos -. O mesmo comportamento é observado se analisarmos a função digama em 1, ou seja:
também como o limite:
O limite relacionado com a função beta ( expressa em termos da função gama) é:
e como função beta:
Relação com a Função Zeta de Riemann[editar | editar código-fonte]
pode ser expresso por uma soma infinita, cujos termos envolvem a Função Zeta de Riemann para números positivos da seguinte forma:
Outras séries relacionadas com a função zeta são:
O termo erro na última equação está decrescendo rapidamente em função de n . Como resultado, a fórmula se mostra bastante eficiente para cálculo de grande quantidade de dígitos da constante com extrema precisão.
Outro limite interessante relacionado com a Constante de Euler-Mascheroni e a função zeta é o limite assimétrico:
Representação com Integrais[editar | editar código-fonte]
é igual ao valor de um número determinado de integrais definidas:
Dentre as integrais definidas nas quais aparece a constante estão:
Uma expressão em que se expressa como uma integral dupla[3], com sua série equivalente é:
Representação com Séries[editar | editar código-fonte]
Além da série original de Euler, são conhecidas outras séries,em que se inclui:
encontrada por Nielsen em 1897.
Em 1912, Vacca encontrou a seguinte série relacionada a :
onde [ ] é a função piso e é o logaritmo de base 2 ;
Em 1926, Vacca encontrou outra série similar a anterior:
que também pode ser escrita como:
As últimas 2 séries podem ser obtidas através da manipulação da Integral de Catalão( ver Sondow e Zudilin)
Representação em forma de fração contínua[editar | editar código-fonte]
A representação de em termos de fração contínua é:
mais precisamente:
Referências
- ↑ Courant, R. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México: Editorial Limusa
- ↑ Havil (2003). Título ainda não informado (favor adicionar). [S.l.: s.n.] p. 97
- ↑ «Jonathan Sondow»
- ↑ Krämer, Stefan. «Euler's Constant γ=0.577... Its Mathematics and History»
- Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150–161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 – 100
- Borwein, Jonathan M., David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). Computational. «Strategies for the Riemann Zeta Function» (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121. p.11 Derives γ as sums over Riemann zeta functions. (en inglés)
- Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-09983-9 (en inglés)
- Donald Knuth (1997) The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4 (en inglés)
- Krämer, Stefan (2005) Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen. Diplomarbeit, Universität Göttingen. (alemán)
- Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," Mathematics Magazine 71: 219-220. (en inglés)
- ------ (2002) Gourdon, Xavier, and Sebah, P."Collection of formulas for Euler's constant, γ." (en inglés)
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