Coordenadas elípticas

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Sistema de coordenadas elípticas.

As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos e estão geralmente fixos nas posições e , respectivamente, sobre o eixo de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais é:

Onde:

é um número real não-negativo e
.

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:


Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica


mostra que as curvas com constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica


mostra que as curvas com constante são hipérboles.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.