Corpo não comutativo

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Corpo não comutativo, em álgebra abstrata, é uma estrutura matemática que tem todas as propriedades usuais de corpos, ou seja, tem operações de soma e produto que tem elemento neutro, elemento inverso, distributividade, etc, exceto que, no corpo não comutativo, a multiplicação não é comutativa.[1]

O estudo dos corpos não comutativos se iniciou em 1843, quando W. R. Hamilton apresentou os quaterniões, considerados, por ele, como o clímax da sua brilhante carreira matemática.[2] Em 1905, Wedderburn provou que não existem corpos finitos não comutativos, ou seja, todo anel de divisão [Nota 1] finito é comutativo.[3]

Exemplos de corpos não comutativos são raros na literatura matemática, sendo o primeiro caso de um corpo não comutativo construído como séries de potências o exemplo de Hilbert, em 1898, que ilustrava o fato de que um corpo ordenado não arquimediano não precisava ser comutativo.[2]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um corpo não comutativo é uma estrutura matemática (R, +, ., 0, 1) satisfazendo as seguintes propriedades:[4]

Exemplo: os quaterniões[editar | editar código-fonte]

O primeiro exemplo foi dado por Hamilton, em 1843: são os quaterniões, também chamados como os quaterniões de Hamilton.[4]

Neste anel, cada elemento é escrito como uma soma formal a = a0 + a1 i + a2 j + a3 k, em que a0, a1, a2 e a3 são números reais, e a multiplicação é feita assumindo-se as propriedades associativa e distributiva, que um número real comuta, na multiplicação, com i, j e k, e que estes três símbolos formais operam de acordo com as regras:[5]

i2 = j2 = k2 = -1
ij = k, jk = i, ki = j
ji = -k, kj = -i, ik = -j

Uma apresentação equivalente, porém anacrônica (pois matrizes foram introduzidas na matemática por Cayley, em 1855), dos quaterniões pode ser feita por meio de matrizes complexas. Um quaternião seria uma matriz H dada por:[6]

Obviamente, 1 é a matriz identidade, e os elementos i, j e k podem ser identificados com as matrizes:[6]

Exemplo: série formal de Laurent[editar | editar código-fonte]

Outro exemplo clássico parte de um corpo (comutativo) L e um automorfismo σ de L. Seja L((T; σ)) o anel das séries de Laurent formais com variável T e coeficientes em L, ou seja, cada elemento de L é escrito, formalmente, como uma série de potências que começa em alguma potência (positiva ou negativa) de T mas não termina, ou seja, são termos da forma:

A soma é feita componente a componente, porém o produto é feito após a aplicação da regra:

Prova-se que estas operações definem um anel, e que a multiplicação tem elemento inverso. Se o automorfismo σ não for a própria identidade, então a multiplicação não é comutativa.[7]

Notas e referências

Notas

  1. A nomenclatura não é consistente. Um anel com elemento neutro multiplicativo e no qual todo elemento não nulo tem inverso é chamado, por alguns autores, de anel de divisão (division ring), e por outros de corpo (field) ou mesmo de skew field. Skew field, na nomenclatura mais usual, corresponde ao corpo não comutativo.

Referências

  1. Robert Gardner, Part IV. Rings and Fields, Section IV.18. Rings and Fields, Definition 18.16 [em linha]
  2. a b Paul Moritz Cohn, Skew Field Constructions (1977), Prefácio, p.vii, [google books, visualização parcial]
  3. Cédric Milliet, Small Skew Fields [em linha]
  4. a b Robert B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, Chapter 2 Ring Fundamentals, 2.1 Basic Definitions and Properties [em linha]
  5. Introduction to Modern Algebra, 2. Fields, 2.5 Skew fields (division rings) and the quaternions, 2.5.2. The Quaternions H [em linha]
  6. a b P. K. Draxl, London Mathematical Society Lecture Note Series. 81 , Skew Fields p.2s [google books]
  7. P. K. Draxl, London Mathematical Society Lecture Note Series. 81 , Skew Fields p.5 [google books]