Cotangente hiperbólica

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A cotangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da cotangente. É representado por ${\text{cotgh}}(x)$ ou $\coth(x)$ e expresso matematicamente por:

$\operatorname {cotgh(x)} ={\cosh(x) \over {\text{senh(x)}}}={{e^{x}+e^{-x} \over 2} \over {e^{x}-e^{-x} \over 2}}$

que, por fim, resulta em:

$\operatorname {cotgh(x)} ={e^{x}+e^{-x} \over {e^{x}-e^{-x}}}$

Características

O domínio da função está definido para $(-\infty ,0)$ e $(0,+\infty )$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo $(-\infty ,-1)$ e $(1,+\infty )$. A função apresenta uma assíntota horizontal em $y=-1$ e em $y=1$. Em ambos lados da assíntota nós encontramos uma função monótona estritamente decrescente.

Derivada

A derivada da função é:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {cotgh} x=1-\operatorname {cotgh} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x$

Teorema de adição

A função cotangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:

$\operatorname {cotgh} (\alpha +\beta )={\frac {1+\operatorname {cotgh} \alpha \,\operatorname {cotgh} \beta }{\operatorname {cotgh} \alpha +\operatorname {cotgh} \beta }}$