Crescimento exponencial

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O gráfico mostra como o crescimento exponencial (verde) supera tanto o crescimento linear (vermelho) quanto o cubico (azul).
  Crescimento Exponencial
  Crescimento Linear
  Crescimento Cúbico

Crescimento Exponencial ou Geométrico é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função (como em funções polinomiais. Ex.: ), e sim da interação entre uma constante de crescimento e uma variável , podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits,(Ver: Complexidade computacional) etc; sendo assim proporcional ao valor atual da função.

Ocorre da mesma forma que Decaimento exponencial ou Geométrico, porém, no decaimento, há um decrescimento do valor de Y.

Fórmula Geral/Básica[editar | editar código-fonte]

Uma quantidade y depende exponencialmente do tempo x em:

"Movendo-se" graficamente na direção do eixo das ordenadas com variação em , e no eixo das abscissas com variação em .

Para ser considerado Crescimento Exponencial, deve possuir valor maior do que 1, caso contrário será considerado Decaimento Exponencial.

Note que o ponto de cruzamento com o eixo se dá em (0,), visto que, igualando a 0, a equação geral transmite que

A quantidade x depende exponencialmente do tempo t se

onde a constante a é o valor inicial de x,

a constante b é um fator de crescimento positivo, e τ é a constante de tempo necessária para x aumentar em um fator de b:

Se τ > 0 e b > 1, então x cresce exponencialmente. Se τ < 0 e b > 1, ou τ > 0 e 0 < b < 1, então x expressa decaimento exponencial.

Exemplos Teóricos[editar | editar código-fonte]

, aonde com o aumento da variável de 1 em 1 unidade, temos um crescimento exponencial.

;

;

 ;

etc.

, aonde o valor 1,2 equivale a um crescimento de 20% em função da variável de tempo sobre a constante

Exemplos com

etc

Exemplos Práticos[editar | editar código-fonte]

Na biologia[editar | editar código-fonte]

Bactéria exibindo crescimento exponencial sob condições ideais.
  • O número de microorganismos em uma cultura em situação ideal de proliferação tem seu aumento de forma exponencial, uma vez que por conta do processo de mitose, o presente na fórmula é igual a 2, que será elevado pela variável relativa à unidade de tempo de cada ciclo mitótico. ()
  • Vírus tendem a aumentar sua quantidade exponencialmente, uma vez que, em situação ideal, um vírus unitário gera descendentes, que por sua vez, resultará, baseado em um número de ciclos liticos em um numero de outros corpos virais.()

Na economia[editar | editar código-fonte]

  • Juros compostos são calculados usando crescimento exponencial, uma vez que a quantidade a ser cobrada a mais na próxima parcela depende não só da quantidade inicial, mas da parcela anterior a qual os juros já foram previamente aplicados.

Na Física[editar | editar código-fonte]

  • A quebra de átomos em uma fissão nuclear, na qual a quebra de um átomo de urânio 235 acarreta na liberação de 3 nêutrons, os quais quebram mais 3 átomos, desse modo tornando o processo uma cadeia com crescimento exponencial.

Na informática[editar | editar código-fonte]

  • O numero de transistores de um chip de processamento seria dobrado a cada período equivalente a um ano e meio (Lei de Moore)

Limitações do Modelo[editar | editar código-fonte]

Modelos exponenciais relativos à fenômenos físicos só podem se aplicar a regiões previamente delimitadas, já que um modelo com crescimento infinito não é fisicamente realístico.

Para crescimentos como a população de um país, recomenda-se o uso de Função logística, pois retrata o crescimento levando em conta fatores limitantes, como espaço, alimento, etc.

Ver também: Thomas Malthus

Equação Diferencial[editar | editar código-fonte]

A Função Exponencial satisfaz a função diferencial linear:

ao dizermos que o crescimento da taxa de x em um tempo t é proporcional ao valor de x(t), e tem o valor inicial

A equação diferencial é resolvida por integraçao direta:

então

Equação Recorrente[editar | editar código-fonte]

A Equação Recorrente

tem solução

mostrando que x exibe crescimento exponencial.

Reformulação como Log-Linear[editar | editar código-fonte]

Ao plotarmos a função exponencial em um gráfico, notamos uma curva que rapidamente cresce e deixa de ser didática para números muito altos, perdendo precisão no eixo X, já que pontos próximos são atribuídos à valores muito distantes no eixo Y.

Para contornar esse problema, há a possibilidade de, ao invés de se utilizar uma escala baseada em , que cresce exponencialmente, utilizar-se de uma escala baseada em , que cresce linearmente, tornando a representação gráfica mais didática.(note que há possibilidade de utilizar-se dessa tecnica em ambos os eixos, tornando assim o grafico "loglog")

Se a variável x exibe crescimento exponencial de acordo com , então o Log (à qualquer base) de x cresce linearmente com o tempo, como pode ser visto adicionando logarítimos aos dois lados da equação de crescimento exponencial:

Isso permite a variável de crescimento exponencial a ser expressa como modelo Log-Linear ou LogLog. Por exemplo, caso quisermos estimar a taxa de crescimento de um valor atemporal em x, podemos regredir linearmente log x em t.

Historias sobre o Crescimento Exponencial[editar | editar código-fonte]

Arroz no tabuleiro de Xadrez[editar | editar código-fonte]

De acordo com a lenda, um Rei indiano foi, certa vez, presenteado com um tabuleiro de xadrez feito à mão, e ao perguntar para o homem que havia lhe dado o presente o que ele gostaria de receber em recompensa, o homem disse que gostaria de receber o pagamento em arroz, sendo a quantidade do grão relativa às casas do tabuleiro: Um grão na primeira casa, dois grãos na segunda, quatro na terceira, oito na quarta, e assim por diante. o Rei concordou com a condição, e de pronto pediu para que o arroz fosse dado ao homem, porém, chegada na vigésima primeira casa, já eram necessários mais de um milhão de grãos de arroz, e antes de chegar na casa número 50, já não haveria mais arroz suficiente no mundo.

Essa historia mostra como nosso raciocínio não funciona bem pensando exponencialmente, visto que o crescimento toma proporções muito maiores do que conseguimos conceber rapidamente.

Vitória-Régia[editar | editar código-fonte]

Na historia francesa contada para crianças, havia um lago, e pela sua superfície, flutuavam vitórias régias. A população das plantas dobrava a cada dia, e caso o lago não fosse vigiado, em 30 dias as plantas cobririam toda a superfície, matando o resto das formas de vida lá existentes. Como a quantidade parecia pequena, o lago foi deixado sem cuidado até o dia em que metade da superfície foi coberta, porém, o dia em questão era o dia 29, um dia antes do lago ser completamente tomado pelas plantas, restando somente 24 horas para que o local fosse salvo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]