Crescimento exponencial

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O gráfico mostra como o crescimento exponencial (verde) supera tanto o crescimento linear (vermelho) quanto o cubico (azul).
  Crescimento Exponencial
  Crescimento Linear
  Crescimento Cúbico

Crescimento Exponencial ou Geométrico é quando a taxa de crescimento de um valor não depende de uma constante exponencial fixa previamente dada em uma função (como em funções polinomiais. Ex.: y = ax + b), e sim da interação entre uma constante de crescimento e uma variável x, podendo esta ser traduzida como: tempo, quantidade de bits,(Ver: Complexidade computacional) etc; sendo assim proporcional ao valor atual da função.

Ocorre da mesma forma que Decaimento exponencial ou Geométrico, porém, no decaimento, há um decrescimento do valor de Y.

Fórmula Geral/Básica[editar | editar código-fonte]

Uma quantidade y depende exponencialmente do tempo x em:

y =x_0. a^{x+b} + c

"Movendo-se" graficamente na direção do eixo das ordenadas com variação em b, e no eixo das abscissas com variação em c.

Para ser considerado Crescimento Exponencial, a deve possuir valor maior do que 1, caso contrário será considerado Decaimento Exponencial.

Note que o ponto de cruzamento com o eixo y se dá em (0,X_0 + a), visto que, igualando x a 0, a equação geral transmite que y = x_0 + c

A quantidade x depende exponencialmente do tempo t se

x(t)=a\cdot b^{t/\tau}\,

onde a constante a é o valor inicial de x,

x(0)=a\, ,

a constante b é um fator de crescimento positivo, e τ é a constante de tempo necessária para x aumentar em um fator de b:

x(t+\tau)=a \cdot b^{\frac{t+\tau}{\tau}} = a \cdot b^{\frac{t}{\tau}} \cdot b^{\frac{\tau}{\tau}} = x(t)\cdot b\, .

Se τ > 0 e b > 1, então x cresce exponencialmente. Se τ < 0 e b > 1, ou τ > 0 e 0 < b < 1, então x expressa decaimento exponencial.

Exemplos Teóricos[editar | editar código-fonte]

2^x = y , aonde com o aumento da variável de 1 em 1 unidade, temos um crescimento exponencial.

2^1 = 2 ;

2^2 = 4 ;

2^3 = 8 ;

etc.

y = a . (1,2^x), aonde o valor 1,2 equivale a um crescimento de 20% em função da variável de tempo x sobre a constante a

Exemplos com a = 1

1 = 1.(1,2^0)

1,2 = 1.(1,2^1)

1,44 = 1.(1,2^2)

etc

Exemplos Práticos[editar | editar código-fonte]

Na biologia[editar | editar código-fonte]

Bactéria exibindo crescimento exponencial sob condições ideais.
  • O número de microorganismos em uma cultura em situação ideal de proliferação tem seu aumento de forma exponencial, uma vez que por conta do processo de mitose, o a presente na fórmula é igual a 2, que será elevado pela variável relativa à unidade de tempo de cada ciclo mitótico. (X_t = X_0.2^t)
  • Vírus tendem a aumentar sua quantidade exponencialmente, uma vez que, em situação ideal, um vírus unitário gera a descendentes, que por sua vez, resultará, baseado em um número x de ciclos liticos em um numero y de outros corpos virais.(y = a^x)

Na economia[editar | editar código-fonte]

  • Juros compostos são calculados usando crescimento exponencial, uma vez que a quantidade a ser cobrada a mais na próxima parcela depende não só da quantidade inicial, mas da parcela anterior a qual os juros já foram previamente aplicados.

Na Física[editar | editar código-fonte]

  • A quebra de átomos em uma fissão nuclear, na qual a quebra de um átomo de urânio 235 acarreta na liberação de 3 nêutrons, os quais quebram mais 3 átomos, desse modo tornando o processo uma cadeia com crescimento exponencial.

Na informática[editar | editar código-fonte]

  • O numero de transistores de um chip de processamento seria dobrado a cada período equivalente a um ano e meio (Lei de Moore)

Limitações do Modelo[editar | editar código-fonte]

Modelos exponenciais relativos à fenômenos físicos só podem se aplicar a regiões previamente delimitadas, já que um modelo com crescimento infinito não é fisicamente realístico.

Para crescimentos como a população de um país, recomenda-se o uso de Função logística, pois retrata o crescimento levando em conta fatores limitantes, como espaço, alimento, etc.

Ver também: Thomas Malthus

Equação Diferencial[editar | editar código-fonte]

A Função Exponencial \scriptstyle x(t)=x(0) e^{kt} satisfaz a função diferencial linear:

 \!\, \frac{dx}{dt} = kx

ao dizermos que o crescimento da taxa de x em um tempo t é proporcional ao valor de x(t), e tem o valor inicial

x(0).\,

A equação diferencial é resolvida por integraçao direta:

\frac{dx}{dt} = kx
\Rightarrow \frac{dx}{x} = k\, dt
\Rightarrow \int_{x(0)}^{x(t)} \frac{dx}{x} = k \int_0^t  \, dt
\Rightarrow \ln \frac{x(t)}{x(0)} =  kt  .

então

\Rightarrow x(t) =  x(0) e^{kt}\,

Equação Recorrente[editar | editar código-fonte]

A Equação Recorrente

x_t = a \cdot x_{t-1}

tem solução

x_t = x_0 \cdot a^t,

mostrando que x exibe crescimento exponencial.

Reformulação como Log-Linear[editar | editar código-fonte]

Ao plotarmos a função exponencial em um gráfico, notamos uma curva que rapidamente cresce e deixa de ser didática para números muito altos, perdendo precisão no eixo X, já que pontos próximos são atribuídos à valores muito distantes no eixo Y.

Para contornar esse problema, há a possibilidade de, ao invés de se utilizar uma escala baseada em F(x), que cresce exponencialmente, utilizar-se de uma escala baseada em Log{F(x)}, que cresce linearmente, tornando a representação gráfica mais didática.(note que há possibilidade de utilizar-se dessa tecnica em ambos os eixos, tornando assim o grafico "loglog")

Se a variável x exibe crescimento exponencial de acordo com x(t)=x_0(1+r)^t, então o Log (à qualquer base) de x cresce linearmente com o tempo, como pode ser visto adicionando logarítimos aos dois lados da equação de crescimento exponencial:

\log x(t) = \log x_0 + t \cdot \log (1+r).

Isso permite a variável de crescimento exponencial a ser expressa como modelo Log-Linear ou LogLog. Por exemplo, caso quisermos estimar a taxa de crescimento de um valor atemporal em x, podemos regredir linearmente log x em t.

Historias sobre o Crescimento Exponencial[editar | editar código-fonte]

Arroz no tabuleiro de Xadrez[editar | editar código-fonte]

De acordo com a lenda, um Rei indiano foi, certa vez, presenteado com um tabuleiro de xadrez feito à mão, e ao perguntar para o homem que havia lhe dado o presente o que ele gostaria de receber em recompensa, o homem disse que gostaria de receber o pagamento em arroz, sendo a quantidade do grão relativa às casas do tabuleiro: Um grão na primeira casa, dois grãos na segunda, quatro na terceira, oito na quarta, e assim por diante. o Rei concordou com a condição, e de pronto pediu para que o arroz fosse dado ao homem, porém, chegada na vigésima primeira casa, já eram necessários mais de um milhão de grãos de arroz, e antes de chegar na casa número 50, já não haveria mais arroz suficiente no mundo.

Essa historia mostra como nosso raciocínio não funciona bem pensando exponencialmente, visto que o crescimento toma proporções muito maiores do que conseguimos conceber rapidamente.

Vitória-Régia[editar | editar código-fonte]

Na historia francesa contada para crianças, havia um lago, e pela sua superfície, flutuavam vitórias régias. A população das plantas dobrava a cada dia, e caso o lago não fosse vigiado, em 30 dias as plantas cobririam toda a superfície, matando o resto das formas de vida lá existentes. Como a quantidade parecia pequena, o lago foi deixado sem cuidado até o dia em que metade da superfície foi coberta, porém, o dia em questão era o dia 29, um dia antes do lago ser completamente tomado pelas plantas, restando somente 24 horas para que o local fosse salvo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]