Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se o número inteiro é divisor de um outro número inteiro , baseando-se em propriedades da sua representação decimal.

Um número inteiro é divisível por um inteiro (diferente de 0) .

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 0

Nenhum número é divisível por 0.

Divisibilidade por 1

Todo número natural é divisível por 1.

Divisibilidade por 2

Todo número par é divisível por 2.^[1]

Exemplos:

247 → O último algarismo é o 7 (ímpar e não-divisível por 2). Não
5.040 → O último algarismo é o 0 (par e divisível por 2). Sim
193.758 → O último algarismo é o 8 (par e divisível por 2). Sim

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos resultar em um número divisível por 3.^[1] O resto será o mesmo que o deixado na divisão da soma dos valores absolutos do número por 3.

Exemplos:

51 → 5 + 1 = 6 Sim
101 → 1 + 0 + 1 = 2 Não
234 → 2 + 3 + 4 = 9 Sim
7.851 → 7 + 8 + 5 + 1 = 21 → 2 + 1 = 3 Sim
9.631 → 9 + 6 + 3 + 1 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1 Não
998.877.665.544 → 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 78 → 7 + 8 = 15 → 1 + 5 = 6 Sim

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando o último algarismo somado com o dobro do penúltimo resultar em 0 ou um número divisível por 4:

Exemplos:

48 → 8+2*4=16 Sim
538 → 8+2*3=14 Não
1.300 → 0+2*0=0 Sim
50.096 → 6+2*9=24 Sim
987.656.498.735.138.728 → 8+2*2=12 Sim
69.843.232.120.022.466.843.213.213.578.775 → 5+2*7=19 Não

Divisibilidade por 5

Todo número com último algarismo 0 ou 5 é divisível por 5.^[1]

Exemplos:

60 Sim
123 Não
9.385 Sim
1.234.567.890 Sim
987.654.321.987.321 Não

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, ou seja, o número deve ser par e a soma de seus algarismos deve ser divisível por 3.

Exemplos:

61 → Número ímpar. Não
102 → Número par e 1 + 0 + 2 = 3 Sim
234 → Número par e 2 + 3 + 4 = 9 Sim
7.851 → Número ímpar. Não
9.634 → Número par e 9 + 6 + 3 + 4 = 22 → 2 + 2 = 4 Não
998.877.665.544 → Número par e 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 78 → 7 + 8 = 15 → 1 + 5 = 6 Sim

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença do dobro do último algarismo para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 7

Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir:

9+9=18 → 4190-18=4172
2+2=4 → 417-4=413
3+3=6 → 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.

É possível testar a divisibilidade por 7 com a ajuda de outro método. Verifique a série alternada das classes de 3 algarismos. Ou seja, coloque um sinal positivo à esquerda da primeira classe, e vá colocando sinais alternados entre as classes até terminar. Se o resultado dessa série for 0 ou algum múltiplo (positivo ou negativo) de 7, então o número inicial é divisível por 7.

Alguns exemplos práticos facilitarão a compreensão do método:

8.015 → +8 - 15 = -7 Sim
99.911 → +99 - 911 = -812 → 81 - 2*2 = 77 Sim
7.654.321 → +7 - 654 + 321 = -326 → 32-6*2 = 20 Não
9.505.317.276 → +9 - 505 + 317 - 276 = -455 → 45 - 2*5 = 35 Sim

Prova

Qualquer número natural pode ser escrito como $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\times {(1000)}^{k}$ , onde $a_{k}$ representa uma classe de 3 algarismos. Por exemplo, para o número $12345$ , temos que $a_{0}=345$ e $a_{1}=12$ . A demonstração é idêntica à prova do critério de divisibilidade por $11$ deste artigo, mas considerando que $1000=1001-1$ e que $1001$ é múltiplo de $7$ .

Por essa razão, esse algoritmo das séries alternadas de 3 algarismos também serve para verificar a divisibilidade por qualquer um dos divisores primos de $1001$ , ou seja, os números $7$ , $11$ e $13$ .

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando o último algarismo somado com o dobro do penúltimo e o quádruplo do ante-penúltimo resulta em 0 ou um número divisível por 8

Exemplos:

10.840 → 0+2*4+4*8=40 Sim
15.000 → 0+2*0+4*0=0 Sim
49.736 → 6+2*3+4*7=40 Sim

Outro critério: Um número é divisível por 8 se os últimos três algarismos formarem um número divisível por 8.

Ao analisar os três últimos algarismos, forme um número com os algarismos da centena e dezena e subtraia por um múltiplo de 8 conhecido (isto é: 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96) e mais próximo o possível do número formado.

Exemplo:

3.784 → 78 - 72 = 6, assim precisaríamos analisar apenas 64, que é múltiplo de 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos resulta em um número divisível por 9.^[1]

Exemplos:

72 → 7 + 2 = 9Sim
1.494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9Sim
581.472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9Sim

Divisibilidade por 10

Todo número com último algarismo 0 é divisível por 10.

Exemplos:

80 Sim
455 Não
1.230 Sim
5.000 Sim
5.487 Não
15.340 Sim
9.876.543.210 Sim

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com dois algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 44, etc.) são múltiplos de 11.

286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é múltiplo de 11
1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11

Temos ainda outro método: Coloca-se sinais alternados entre os algarismos, começando com o sinal positivo. Se o resultado da série for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11

94186565 → +9 - 4 + 1 - 8 + 6 - 5 + 6 - 5 = 0 Sim
56568143 → +5 - 6 + 5 - 6 + 8 - 1 + 4 - 3 = 6 Não

Ou então se a soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições ímpares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.

4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → $168\equiv 146{\pmod {11}}$ Sim
4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → $171\not \equiv 148{\pmod {11}}$ Não

Prova

Qualquer número natural pode ser representado como $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\times 10^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\times {(11-1)}^{k}$ , onde $a_{0}$ é o algarismo das unidades e o número possui $n+1$ algarismos no sistema decimal de numeração. No desenvolvimento de $a_{k}\times {(11-1)}^{k}$ pelo Binómio de Newton, observa-se que $a_{k}\times {(11-1)}^{k}=a_{k}\times \left(\sum _{p=0}^{k}{k \choose p}11^{k-p}\times {(-1)}^{p}\right)$ . Essa soma pode ser reordenada colocando-se de um lado os fatores de 11 da forma $11^{k-p}$ , onde $k>p$ e, do outro, a soma dos números da forma $a_{p}\times {(-1)}^{p}$ (caso em que $k=p$ ). Se $p$ for par, então $a_{p}\times {(-1)}^{p}$ será positivo e $p+1$ será ímpar, resultando em $a_{p+1}\times {(-1)}^{p+1}$ negativo. Se essa soma $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\times {(-1)}^{k}$ for divisível por $11$ , então $\sum _{k=0}^{n}a_{k}\times 10^{k}$ também o é.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.

756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63 Sim
672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56 Sim

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 quando a soma do quadruplo do último algarismo para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 13

Exemplo: 5096 é divisível por 13 conforme podemos conferir:

6*4=24 509+24=533
3*4=12 53+12=65
5*4=20 6+20=26 que dividido por 13 é igual a 2.

É possível testar a divisibilidade por 13 com a ajuda de outro método. Verifique a série alternada das classes de 3 algarismos. Ou seja, coloque um sinal positivo à esquerda da primeira classe, e vá colocando sinais alternados entre as classes até terminar. Se o resultado dessa série for 0 ou algum múltiplo (positivo ou negativo) de 13, então o número inicial é divisível por 13.

Alguns exemplos práticos facilitarão a compreensão do método:

23.075 → +23 - 75 = -52 → 5 + 2*4 = 13
161.200 → +161 - 200 = -39
34.819.200 → +34 - 819 + 200 = -585 → 58 + 5*4 = 78 → 7 + 8*4 = 39
25.965.349.956 → +25 - 965 + 349 - 956 = -1547 → 154 + 7*4 = 182 → 18 + 2*4 = 26

Divisibilidade por 17

Para saber se um número é divisível por 17: multiplica-se o último algarismo por 5, em seguida subtrai-se o restante do número pelo produto obtido anteriormente - sem o algarismo que se utilizou para multiplicar por 5.

19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0 Sim
221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17 Sim
238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17 Sim

Outra forma de verificar a divisibilidade por 17 é separando o número em classes de 3, 3 e 2 algarismos, respectivamente, da direita para a esquerda, e calculando a combinação linear dessa sequência de classes da direita para a esquerda com pesos seguindo a sequência 1, -3, -8, -1, 3 e 8.

Ex: 2293600806515470 é divisível por 17?

Primeiramente, separamos o número em classes de 3, 3 e 2 algarismos, respectivamente, da direita para a esquerda:

22.936.008.06.515.470

Em seguida, multiplicamos as classes da direita para a esquerda pela sequência 1, -3, -8, -1, 3 e 8:

470*1 = 470

515*(-3) = -1545

6*(-8) = -48

8*(-1) = -8

936*3 = 2808

22*8 = 176

E finalmente, somamos os produtos obtidos: 470-1545-48-8+2808+176 = 1853

Repetimos o processo com o 1853:

1.853

853*1 = 853

1*(-3) = -3

853-3 = 850 Sim

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando a soma do dobro do último algarismo para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 19

Exemplo: 9234 é divisível por 19 conforme podemos conferir:

4*2=8 923+8=931
1*2=2 93+2=95
5*2=10 9+10=19

Prova

Qualquer número natural pode ser representado na forma $10a+b$ , onde $a$ e $b$ são números inteiros e positivos. Sendo $b$ o seu último algarismo e $a$ o número sem esse último algarismo, temos que $10a+b+9\cdot (2b+a)=19\cdot (a+b)$ . Como $19\cdot (a+b)$ é múltiplo de $19$ , então se $2b+a$ for múltiplo de $19$ , então $10a+b$ também o será. Veja que, para um número suficientemente grande, esse critério pode não ser viável.

Divisibilidade por 20

Todo número com último algarismo 0 e o penúltimo algarismo par é divisível por 20.

Exemplos:

40 Sim
190 Não
330 Não
600 Sim
1.280 Sim
5.370 Não
8.520 Sim

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando a soma do último algarismo multiplicado por 7 para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 23

Exemplo: 10488 é divisível por 23 conforme podemos conferir:

8*7=56 1048+56=1104
4*7=28 110+28=138
8*7=56 13+56=69 que dividido por 23 é igual a 3.

Divisibilidade por 25

Todo número com os dois últimos algarismos 00, 25, 50 ou 75 é divisível por 25.

275 → 75 Sim
3825 → 25 Sim

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando a soma do triplo do último algarismo para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 29

Exemplo: 25056 é divisível por 29 conforme podemos conferir:

6*3=18 2505+18=2523
3*3=9 252+9=261
1*3=3 26+3=29

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando a diferença do triplo do último algarismo para o número sem esse último algarismo resulta em um número divisível por 31

Exemplo: 58590 é divisível por 31 conforme podemos conferir:

0*3=0 5859-0=5859
9*3=27 585-27=558
8*3=24 55-24=31

Outros critérios de divisibilidade

Potências de 2

Um número é divisível por $2^{N}$ quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisíveis por $2^{N}.$ Alguns exemplos:

Divisibilidade por 16: ( $2^{4}$ ) quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
Divisibilidade por 32: ( $2^{5}$ ) quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
Divisibilidade por 64: ( $2^{6}$ ) quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64.

Números compostos com fatores primos entre si

Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
Divisibilidade por 50: quando é divisível por 2 e por 25 (2 x 25 = 50).

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Divisibilidade por potências de 10

Divisibilidade por 10: quando, como dito anteriormente, terminar em 0
Divisibilidade por 100: quando é terminado em 00
Divisibilidade por 1000: quando é terminado em 000, e assim por diante.

Ligações externas

Wikilivros

O wikilivro Teoria de números tem uma página sobre Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Notas

↑ ^a ^b ^c ^d Couceiro (1866), p. 116

Referências

da Costa, J. M. Couceiro (1866). Tratado de arithmetica. [S.l.]: Editora Imprensa Nacional

[Couceiro-1866-1] Couceiro (1866), p. 116

[1]