Critérios de divisibilidade

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Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se o número inteiro A é divisor de um número inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal.

Um número inteiro A é divisível por um inteiro B (diferente de 0) se, e somente se, existir um k inteiro tal que:

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 1[editar | editar código-fonte]

Todo número inteiro é divisível por 1.

Divisibilidade por 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 2 se o seu último dígito é divisível por dois, isto é, se o número termina em um número par.[1]

Exemplos:

  • 247 → O último algarismo é o 7 (ímpar e não-divisível por 2). Não
  • 5.040 → O último algarismo é o 0 (par e divisível por 2). Sim
  • 193.758 → O último algarismo é o 8 (par e divisível por 2). Sim

Divisibilidade por 3[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos resultar em 3 ou 6 ou 9 (divisíveis por 3).[1] O resto será o mesmo que o deixado na divisão da soma dos valores absolutos do número por 3.

Exemplos:

  • 515 + 1 = 6 Sim
  • 1011 + 0 + 1 = 2 Não
  • 2342 + 3 + 4 = 9 Sim
  • 7.8517 + 8 + 5 + 1 = 21 → 2 + 1 = 3 Sim
  • 9.6319 + 6 + 3 + 1 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1 Não
  • 998.877.665.5449 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 78 → 7 + 8 = 15 → 1 + 5 = 6 Sim

Divisibilidade por 4[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 4 quando qualquer uma das seguintes situações forem verdadeiras:

  • Os dois últimos algarismos formam um múltiplo de 4;
  • O penúltimo algarismo for par e o último for 0, 4 ou 8;
  • O penúltimo algarismo for ímpar e o último for 2 ou 6.

Exemplos:

  • 4848 é múltiplo de 4. Sim
  • 538 → Não encaixa-se nas situações citadas. Não
  • 1.300 → O penúltimo algarismo (0) é par e o último é 0. Sim
  • 50.096 → O penúltimo algarismo (9) é ímpar e o último é 6. Sim
  • 987.656.498.735.138.72828 é múltiplo de 4. Sim
  • 69.843.232.120.022.466.843.213.213.578.77575 é um número ímpar. Não

Divisibilidade por 5[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5.[1]

Exemplos:

  • 60 Sim
  • 123 Não
  • 9.385 Sim
  • 1.234.567.890 Sim
  • 987.654.321.987.654.321 Não

Divisibilidade por 6[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, ou seja, o número deve ser par e a soma de seus algarismos deve resultar em 3 ou 6 ou 9.

Exemplos:

  • 61 → Número ímpar. Não
  • 102 → Número par e 1 + 0 + 2 = 3 Sim
  • 234 → Número par e 2 + 3 + 4 = 9 Sim
  • 7.851 → Número ímpar. Não
  • 9.634 → Número par e 9 + 6 + 3 + 4 = 22 → 2 + 2 = 4 Não
  • 998.877.665.544 → Número par e 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 7 + 6 + 6 + 5 + 5 + 4 + 4 = 78 → 7 + 8 = 15 → 1 + 5 = 6 Sim

Divisibilidade por 7[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta num número divisível por 7

Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir:

  • 9+9=18 4190-18=4172
  • 2+2=4 417-4=413
  • 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.

É possível testar a divisibilidade por 7 com a ajuda de outro método. Multiplique os algarismos na seguinte ordem: unidade por 1, dezena por 3, centena por 2, unidade de milhar por -1, dezena de milhar por -3, centena de milhar por -2, unidade de milhão por 1, dezena de milhão por 3, centena de milhão por 2, e assim por diante. Some os resultados de todas as multiplicações. Se o valor desta soma for 0 ou algum múltiplo (positivo ou negativo) de 7, então o número inicial é divisível por 7.

Alguns exemplos práticos facilitarão a compreensão do método (lembrando que o símbolo asterisco indica multiplicação):

  • 988 * (1) + 9 * (3) = 8 + 27 = 35 Sim
  • 3999 * (1) + 9 * (3) + 3 * (2) = 9 + 27 + 6 = 42 Sim
  • 6822 * (1) + 8 * (3) + 6 * (2) = 2 + 24 + 12 = 38 Não
  • 8.0155 * (1) + 1 * (3) + 0 * (2) + 8 * (-1) = 5 + 3 + 0 + (-8) = 0 Sim
  • 99.9111 * (1) + 1 * (3) + 9 * (2) + 9 * (-1) + 9 * (-3) = 1 + 3 + 18 + (-9) + (-27) = -14 Sim
  • 7.654.3211 * (1) + 2 * (3) + 3 * (2) + 4 * (-1) + 5 * (-3) + 6 * (-2) + 7 * (1) = 1 + 6 + 6 + (-4) + (-15) + (-12) + 7 = -11 Não
  • 9.505.317.2766 * (1) + 7 * (3) + 2 * (2) + 7 * (-1) + 1 * (-3) + 3 * (-2) + 5 * (1) + 0 * (3) + 5 * (2) + 9 * (-1) = 6 + 21 + 4 + (-7) + (-3) + (-6) + 5 + 0 + 10 + (-9) = 21 Sim

Divisibilidade por 8[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 8 quando o antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos formem um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84 ou 92).

Exemplos:

  • 10.840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8 Sim
  • 15.000 → 000 Sim
  • 49.736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8,logo 49736 é divisível por 8 Sim

Outro critério: Um número é divisível por 8 se os últimos três algarismos formarem um número divisível por 8.

Ao analisar os três últimos algarismos, forme um número com os algarismos da centena e dezena e subtraia por um múltiplo de 8 conhecido (isto é: 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96) e mais próximo o possível do número formado.

Exemplo:

  • 3.784 → 78 - 72 = 6, assim precisaríamos analisar apenas 64, que é múltiplo de 8.

Divisibilidade por 9[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for 9.[1]

Exemplos:

  • 727 + 2 = 9Sim
  • 1.4941 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9Sim
  • 581.4725 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9Sim

Divisibilidade por 10[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplos:

  • 80 Sim
  • 455 Não
  • 1.230 Sim
  • 5.000 Sim
  • 5.487 Não
  • 15.340 Sim
  • 9.876.543.210 Sim

Divisibilidade por 11[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre o último algarismo (o algarismo da unidade) e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com dois algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como a regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 55, etc.) são múltiplos de 11.

  • 286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é múltiplo de 11
  • 1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
  • 14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
  • 24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é múltiplo de 11

Temos ainda outro método: Soma-se o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo; se a diferença da soma do 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo; for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11

  • 94186565 → 9 + 1 + 6 + 6 = 22 → 4 + 8 + 5 + 5 = 22 → 22 - 22 = 0 Sim
  • 56568143 → 5 + 5 + 8 + 4 = 22 → 6 + 6 + 1 + 3 = 16 → 22 - 16 = 6 Não

Ou então se a soma dos algarismos de posições pares e a soma dos algarismos de posições ímpares tiverem o mesmo resto da divisão por onze, então o número tomado é divisível por onze.

  • 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 Sim
  • 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 Não

Divisibilidade por 12[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 12 caso também seja divisível por 3 e por 4.

  • 756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63 Sim
  • 672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56 Sim

Divisibilidade por 17[editar | editar código-fonte]

Para saber se um número é divisível por 17: multiplica-se o último algarismo por 5, em seguida subtrai-se o restante do número pelo produto obtido anteriormente - sem o algarismo que se utilizou para multiplicar por 5. Caso o número ainda seja grande, faz-se isso até chegarmos ao número que seja divisível por 17.

  • 19074 → 4 x 5 = 20 → 1907 - 20 = 1887 → 7 x 5 = 35 → 188 - 35 = 153 → 3 x 5 = 15 → 15 - 15 = 0 Sim
  • 221 → 1 x 5 = 5 → 22 - 5 = 17 Sim
  • 238 → 8 x 5 = 40 → 23 - 40 = -17 Sim

Divisibilidade por 25[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por 25 quando termina em 00, 25, 50 ou 75.

  • 275 → 75 Sim
  • 3825 → 25 Sim

Outros critérios de divisibilidade[editar | editar código-fonte]

Potências de 2[editar | editar código-fonte]

Um número é divisível por quando seus últimos N algarismos forem 0 ou divisíveis por Alguns exemplos:

  • Divisibilidade por 16: () quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
  • Divisibilidade por 32: () quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
  • Divisibilidade por 64: () quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64.

Números compostos com fatores não-múltiplos entre si[editar | editar código-fonte]

Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

  • Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
  • Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15);
  • Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24);
  • Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35);
  • Divisibilidade por 50: quando é divisível por 2 e por 25 (2 x 25 = 50).

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Divisibilidade por múltiplos de 10[editar | editar código-fonte]

  • Divisibilidade por 10: quando, como dito anteriormente, terminar em 0
  • Divisibilidade por 100: quando é terminado em 00
  • Divisibilidade por 1000: quando é terminado em 000, e assim por diante.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b c d Couceiro (1866), p. 116

Referências[editar | editar código-fonte]

  • da Costa, J. M. Couceiro (1866). Tratado de arithmetica Editora Imprensa Nacional [S.l.]