Crivo de Sundaram

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Crivo de Sundaram é uma tabela dos números naturais ímpares compostos, feita por progressões aritméticas organizadas em colunas. O crivo baseia-se no princípio de que, ao determinar o conjunto dos números compostos ímpares, pode-se deduzir o conjunto dos números primos. A n-ésima coluna tem por primeira terminação (2n + 1)2 e por diferença entre terminações consecutivas d = 4n + 2. Qualquer número ímpar diferente de 1, que não se encontre na tabela, é primo.

Considere-se um número composto ímpar da forma , onde p e q são números naturais e para algum k natural. Então,

com o que n encontraria-se na p-ésima columna e na k-ésima fila

Ao fazer p e k percorrerem o conjunto obtêm-se o conjunto dos números que são produtos de dois ímpares que se encontram na tabela.

9
15 25
21 35 49
27 45 63 81
33 55 77 99 121
39 65 91 117 143 169
45 75 105 135 165 195 225
51 85 119 153 187 221 255 289
57 95 133 171 209 247 285 323 361
63 105 147 189 231 273 315 357 399 441
69 115 161 207 253 299 345 391 437 483 529
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Sundaram foi um matemático indiano. O crivo que este publicou em 1934 era ligeiramente diferente do modelo aqui exposto.

Forma quadrática associada[editar | editar código-fonte]

A forma quadrática tem por menos um par (k, j) de soluções em números naturais, para cada valor de p composto. Quando p é composto, k pode tomar qualquer valor natural e também pode ser nulo, se o número p é um quadrado. O valor de j sempre é não-nulo para p composto. Uma solução (k, j) única, com j = 0, indica que p é um número primo em .

Se desenvolvermos o quadrado, o resultado é análogo â expressão [1]: .

As soluções da forma quadrática não estão delimitadas, ainda que esta fórmula não pode ser utilizada para determinar a primalidade de um número. O crivo constitui um método quase de "força bruta", também impraticável para números muito grandes.

Relação de equivalência[editar | editar código-fonte]

Se reordenamos o crivo de Sundaram e o escrevermos de um modo diferente, podemos dividir os números compostos em classes disjuntas:

O critério a seguir consiste em agrupar os números que tem um mesmo divisor mínimo. Começamos por 9, que é um quadrado e seguimos por todos os múltiplos de 3 que no contenham fatores pares. Seguimos com 25, que também é um quadrado, e agrupamos todos os múltiplos de 5 que no tenham fatores menores que 5. Assim sucessivamente (Observa-se que 81 está, agora, na classe que começamos com 9). Todas estas classes de números naturais compostos ficam agrupadas em subconjuntos disjuntos dois a dois.

Agora ampliamos algo mais o conteúdo do crivo. Colocamos o mínimo divisor como precedente de cada quadrado e o aceitamos como representante da classe (é o divisor mínimo comum da classe). Também, agrupamos o 2 e todos os pares como uma classe adicional e teremos todos os números naturais - exceto o 1 - divididos em classes disjuntas. Isto indica que se foi realizado um quociente de por uma relação de equivalência. Os representantes dessas classes são os números primos.

Referências

  • Ingenuity in Mathematics – Ross Honsberger – MathematicAo Association of America – 1970 – (Colección: New Mathematical Library N° 23) – página 75.
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