Decaimento exponencial

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Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é , em que é o número de átomos existentes em cada instante.[1] O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função

Decaimento exponencial de uma substância radioativa.

A massa dos correspondentes átomos, , é diretamente proporcional a e assim obtemos a seguinte equação diferencial

onde é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero

e a solução única para a condição inicial no instante inicial é (figura ao lado)

A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos

Quanto maior for a constante de decaimento , mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de em relação ao de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.[1]

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013. Erro de citação: Invalid <ref> tag; name "Villate" defined multiple times with different content