Derivada simétrica

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derivada
figura 1

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.

É definida como:

Ou seja, se uma função é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.

A esse limite denotaremos como .

Relação com a Derivada[editar | editar código-fonte]

Seja uma função e Є . Suponha que e existem, então tem derivada simétrica em , e

  • .

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Por hipótese existem e . Nota-se que existe . Então tomando

com isso,

.

Observação 1 :[editar | editar código-fonte]

Se existir a derivada simétrica então não significa que existem as derivadas e . Vejamos com um exemplo:

  • Considere a função definida como:

.

Basta examinar se se a função tem derivada simétrica em .

veja:

, portanto a derivada simétrica de em zero existe e é igual a zero.

com isso, verifica-se que não tem derivada à direita em zero:

, pois este limite não existe no zero e portanto não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.

com isso mostra-se que se tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

Observação2:[editar | editar código-fonte]

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:

  • Seja uma função definida por :

e , esta função tem derivada simétrica em zero, note:

, portanto é diferenciável simetricamente em , mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

Observação 3:[editar | editar código-fonte]

  • Seja uma função. Sabe-se que é uma função par se satisfaz , para todo Є

Perceba que a função da Observação 1 é função par.

  • Seja uma função par, então tem derivada simétrica no ponto 0.

Demonstração:

Como é uma função par, temos que: , logo então , ou seja ,

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions Marcel Dekker [S.l.] ISBN 0-8247-9230-0.