Derivada simétrica

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derivada
figura 1

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.

É definida como:

{\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.}

Ou seja, se uma função f é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.

A esse limite denotaremos como f'_s(x) .

Relação com a Derivada[editar | editar código-fonte]

Seja f:I\to R uma função e x_0 Є I . Suponha que f'_+(x_0) e f'_+(x_0) existem, então f tem derivada simétrica em x_0, e

  • f'_s(x_0)=\frac{f'_+(x_0)+f'_-(x_0)}{2} .

Demonstração:[editar | editar código-fonte]

Por hipótese existem f'_-(x_0) e f'_+(x_0). Nota-se que existe f'_s(x_0). Então tomando

\lim_{h\to0+}\frac{f(x_0+h) - f(x_0-h)}{2h}

\lim_{h\to0+}\frac{f(x_0+h) - f(x_0)+f(x_0)-f(x_0-h)}{2h}

\frac{1}{2}\lim_{h\to0+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

\frac{+1}{2}\lim_{h\to0+}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}

\frac{f'_+(x_0)+f'_-(x_0)}{2}

com isso,

f'_s(x_0)=\frac{f'_+(x_0)+f'_-(x_0)}{2} .

Observação 1 :[editar | editar código-fonte]

Se existir a derivada simétrica f'_s(x_0) então não significa que existem as derivadas f'_-(x_0) e f'_+(x_0) . Vejamos com um exemplo:

  • Considere a função f:R\to R definida como:

f(x)=

xsen\frac{1}{x},\ se \ x0

0, \  se \ x =0.

Basta examinar se se a função f tem derivada simétrica em 0.

veja:

f'_s(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h) - f(0-h)}{2h}

=\lim_{h\to0}\frac{hsen(\frac{1}{h}) - [-hsen(\frac{-1}{h})]}{2h}

=\lim_{h\to0}\frac{hsen(\frac{1}{h}) - hsen(\frac{1}{h})}{2h}

= \lim_{h\to0}0

=0 , portanto a derivada simétrica de f em zero existe e é igual a zero.

com isso, verifica-se que f não tem derivada à direita em zero:

{\displaystyle f'(0)=\lim_{h \to 0+}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}.}

=\lim_{h\to0+}\frac{ hsen(\frac{1}{h})}{h}

=\lim_{h\to0+}{ sen(\frac{1}{h})} , pois este limite não existe no zero e portanto f não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.

com isso mostra-se que se f tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

Observação2:[editar | editar código-fonte]

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:

  • Seja f :R\to R uma função definida por :

f(x)=(\frac{1}{x^2}\ se \ x0 e 0,\ se\ x=0) , esta função tem derivada simétrica em zero, note:

f'_s(0)= \lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}

= \lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{h^2}-\frac{1}{h^2}}{2h}

\lim_{h\to0}0 =\ 0 , portanto f(x)= \frac{1}{x^2} é diferenciável simetricamente em x=0, mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

Observação 3:[editar | editar código-fonte]

  • Seja f: R\to R uma função. Sabe-se que f é uma função par se satisfaz f(x)=f(-x), para todo x Є R

Perceba que a função da Observação 1 é função par.

  • Seja f :R\to R uma função par, então f tem derivada simétrica no ponto 0.

Demonstração:

Como f é uma função par, temos que: f(x)=-f(x)=0, logo \frac{f(h)-f(-h)}{2}=\frac{0}{2h} então \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(-h)}{2h}=0, ou seja , f'_s(x)=0.

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions Marcel Dekker [S.l.] ISBN 0-8247-9230-0.