Desigualdade de Bernoulli

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Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:

, sempre que e um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo por um real maior ou igual a 1.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

  • Base:
.
  • Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

Multiplicado ambos os lados por (que é um termo positivo uma vez que ):

O termo é positivo e portanto:

Demonstração da versão mais geral[editar | editar código-fonte]

Defina a função auxiliar por:

Queremos mostrar que quando .

Tomando derivada em , temos:

ou seja:

Portanto, admite um mínimo global no ponto , onde é nula. Assim concluímos:

o que completa a demonstração.


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