Desigualdade de Bernoulli

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Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que o polinômio real , elevado ao número inteiro não negativo , é maior ou igual à soma de com o produto de e , quando é maior que [1][2] . Essa desigualdade pode ser utilizada em problemas relacionados à análise combinatória [3].

Enunciados[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Bernoulli afirma que:

, sempre que e é um número inteiro não negativo[2].

Esta desigualdade pode ser generalizada considerando-se o caso em que é um real maior ou igual a .[nota 1]

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue[2]. Certamente

.

Multiplicando-se ambos os lados da hipótese de indução

por (que é um termo positivo uma vez que ) obtém-se

.

O termo é positivo e, portanto,

.

Assim, como , o resultado vale para todo inteiro .

Demonstração do caso geral[editar | editar código-fonte]

Considere um número real maior ou igual a e defina a função auxiliar por

,

de modo que basta mostrar que quando .

Tomando a derivada em , tem-se

,

ou seja,

,

o que mostra que é crescente para e decrescente no intervalo [4] . Portanto, admite um mínimo global no ponto , onde é nula. Assim concluí-se que

,

o que completa a demonstração.

Notas

  1. No caso em que é um número real qualquer e é um número real maior ou igual a , tem-se o seguinte resultado: se , então ; mas, se ou então [3].

Referências

  1. LIMA, LIMA, Elon Lages (2004). Análise Real. [S.l.]: Impa 
  2. a b c Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 
  3. a b Silva, Pedro Costa da (2019). As desigualdades elementares e suas aplicações (PDF) (Tese). Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Consultado em 5 de novembro de 2019 
  4. Stewart, James (2009). Cálculo: volume 1. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522106608 
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