Desigualdade de Weyl

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Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz Hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra [2]

Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz . Seja M com autovalores , H com autovalores e P com autovalores

O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para :

Se P é positiva definida (e.g. ) então isso implica que

Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.

Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

Na teoria dos números, a desigualdade de Weyl afirma que se M, N, a e q são inteiros, com a e q co-primo, q > 0, e f é um polinômio real de grau k cujo o coeficiente lider c satisfaz

para algum t maior ou igual a 1, então para qualquer número real positivo temos

Essa desigualdade só será útil quando

pois, de outra forma, estimar o módulo da soma exponencial[nota 1] por meio da desigualdade de triângulo como fornece um melhor limite.

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. Uma série de Fourier finita (ou seja, um polinômio trigonométrico), ou outra soma finita formada usando a função exponencial, geralmente expressa por meio da função

Referências

  1. Helmut Wielandt, Bertram Huppert & Hans Schneider: Mathematische Werke: Linear algebra and analysis, Walter de Gruyter, 1996, ISBN 9783110124538 S.166
  2. Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem. SIAM 1980, 1998, ISBN 0-13-880047-2, Kapitel 10-3, S.208