Determinante

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Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.[1] Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

O cálculo de determinantes está ligado com o conjunto solução de um sistema linear, pois se o cálculo da matriz dos coeficientes de um sistema de equações lineares, onde o número de equações é igual o número de incógnitas (uma matriz quadrada) for um valor diferente de zero, possuímos uma única solução para o sistema, caso o valor do determinante for zero, temos um sistema possível indeterminado ou impossível.[2]

Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento: .

Para as matrizes de ordem 2, realizamos uma multiplicação dos elementos da diagonal principal e diminuiremos pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária, ou seja:

Para matrizes de ordem 3, utilizamos da Regra de Sarrus:

Para qualquer matriz de ordem 2 ou superior, podemos utilizar de dois outros processos, conhecidos como Teorema de Laplace e fórmula de Leibniz. Ambos permitem calcular o determinante de uma matriz de ordem n.

Os determinantes são utilizados para cálculos relacionados a independência linear, orientação de uma base em um espaço vetorial, cálculo de volumes a partir de uma matriz jacobiana, cálculo de uma matriz de Vandermonde e cálculos de circulantes.


Definição[editar | editar código-fonte]

Seja o conjunto das matrizes com linhas e colunas sobre um corpo Pode-se provar que existe uma única função com as seguintes propriedades:

  1. é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. onde é a matriz identidade.

Esta função denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz representa-se por ou por [Nota 1]

História[editar | editar código-fonte]

Historicamente [nota 1], os determinantes eram usados muito antes das matrizes: originalmente, um determinante era definido como uma propriedade de um sistema de equações lineares. O determinante "determina" se o sistema possui uma solução exclusiva (que ocorre precisamente se o determinante for diferente de zero).[3]

Os determinantes foram usados pela primeira vez no livro de matemática chinês Os nove capítulos da arte matemática (por volta do século III a.C.). Na Europa, os determinantes de matriz de ordem 2 foram estudados por Cardano no final do século XVI e os maiores por Leibniz[4]

No Japão, Seki Takakazu é creditado pela descoberta do resultante e do determinante (inicialmente em 1683, mas a versão completa até 1710). Na Europa, Cramer (1750) acrescentou à teoria de forma a tratar o determinante em relação a conjuntos de equações. A lei de recorrência foi anunciada pela primeira vez por Bézout (1764).[4]

Foi Vandermonde (1771) quem primeiro reconheceu os determinantes em relação a funções independentes. Laplace (1772) desenvolveu o método geral ao expandir um determinante em termos de seus menores complementares, onde Vandermonde já havia apresentado um caso especial. Imediatamente depois, Lagrange (1773) tratou determinantes de segunda e terceira ordem, provando muitos casos especiais de identidades gerais.[4]

Gauss (1801) fez o próximo avanço. Como Lagrange, ele fez muito uso de determinantes na teoria dos números. Ele introduziu a palavra determinante (Laplace usara resultante). Gauss também chegou à noção de inverso do determinante e chegou muito perto do teorema da multiplicação.[4]

O próximo colaborador de importância é Binet (1811, 1812), que declarou formalmente o teorema relativo ao produto de duas matrizes de m colunas e n linhas, o que para o caso especial de m = n se reduz ao teorema da multiplicação. No mesmo dia (30 de novembro de 1812) em que Binet apresentou seu trabalho à Academia, Cauchy também apresentou um sobre o assunto. (Veja a fórmula de Cauchy-Binet.) Nisso, ele usou a palavra determinante em seu sentido atual,[5] resumiu e simplificou o que era então conhecido sobre o assunto, melhorou a notação e deu ao teorema da multiplicação uma prova mais satisfatória que a realizada por Binet, onde começa a teoria de forma geral.[4]

A próxima figura importante foi Jacobi(de 1827). Ele usou o determinante funcional, que Sylvester mais tarde chamou de matriz jacobiana, e, em suas memórias no Crelle's Journal de 1841, tratou especialmente desse determinante funcional. Da mesma forma, tratou sobre a classe de funções alternadas, as quais Sylvester chamou de matriz alternante. Na época das últimas memórias de Jacobi, Sylvester (1839) e Cayley começaram seus trabalhos.[6]

O estudo de formas especiais de determinantes tem sido o resultado natural da conclusão da teoria geral. Determinantes axissimétricos foram estudados por Lebesgue, Hesse e Sylvester; determinantes persimétricos de Sylvester e Hankel; circulantes de Catalan, Spottiswoode, Glaisher e Scott; determinantes de inclinação e Pfaffians, em conexão com a teoria da transformação ortogonal, de Cayley; continuantes de Sylvester; Wronskians (assim chamados por Muir) por Christoffel e Frobenius; determinantes compostos de Sylvester, Reiss e Picquet; jacobianos e hessianos de Sylvester; e determinantes simétricos de Trudi. Dos livros didáticos sobre o assunto, Spottiswoode foi o primeiro. Nos Estados Unidos, Hanus (1886), Weld (1893) e Muir / Metzler (1933) publicaram tratados.[4]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. O determinante da matriz identidade é um:[7]
      
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta:
      
  3. Se uma matriz quadrada é invertível então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:
       Resulta desta propriedade ainda, que para matrizes invertíveis, verifica-se que
  4. O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é o produto dos determinantes (teorema de Binet):[8]
      
  5. O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem resulta nesse escalar elevado a vezes o determinante dessa matriz:
       onde é a ordem da matriz
  6. Se é ortogonal, então
      
  7. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
       Seja uma matriz triangular de ordem então
  8. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então
  9. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de como soma de duas parcelas então é a soma de dois determinantes de ordem cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  10. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um escalar então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de multiplicado por
  11. Se permutarmos duas linhas ou colunas de então o determinante da nova matriz é
  12. Se tem duas linhas (ou colunas) iguais, então
  13. Dadas as matrizes A e B quadradas, de ordem n, com elementos diferentes apenas na fila j. O determinante de C, matriz quadrada de ordem n, onde a sua fila j é a soma dos elementos da fila j de A e B é igual ao determinante de A somado ao determinante de B ().[9]
  14. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de (essa propriedade também é conhecida como Teorema de Jacobi).[9]

Regra de Chiò[editar | editar código-fonte]

Uma consequência da última propriedade é a Regra de Chiò, que permite reduzir em um a ordem da matriz e facilitar o cálculo do determinante.[9]

A regra permite suprimir a 1ª linha e coluna de uma matriz M que possui um o elemento . Para cada elemento restante, será subtraído o produto dos elementos nas extremidades da linha e coluna suprimida, de forma geral: . Os resultados formam uma nova matriz com o mesmo determinante que anterior.

Assim temos:

Caso a matriz não ter o elemento , podemos utilizar trocas de filas paralelas ou do teorema de Jacobi para transformar um elemento em 1 através de uma operação.

Cálculo de determinantes[editar | editar código-fonte]

Determinante de uma matriz de ordem 1[editar | editar código-fonte]

O determinante da matriz de ordem é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real

Por exemplo:
então

Determinante de matriz de ordem 2[editar | editar código-fonte]

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelos vetores que representam seus lados

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

Por exemplo, o determinante da matriz é dado por:

Determinante de matriz de terceira ordem[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

  • Por exemplo:

O volume deste paralelepípedo é o valor absoluto do determinante da matriz formada pelas linhas construídas a partir dos vetores e.

Determinantes de ordem maior ou igual a 4[editar | editar código-fonte]

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior ou igual a 2 utiliza-se o teorema de Laplace, mas usualmente o utilizamos para matrizes de ordem maior ou igual a 4. Esse teorema estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos.(cofatores matriciais ---- matrix cofactor)[10]

O complemento algébrico de um elemento de uma matriz é o número sendo o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Uma fórmula de somatório pode ser escrita como:

Onde n é o número de linhas da matriz, i é a posição em relação às linhas, j é a posição em relação às colunas, e é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Note que esse somatório depende apenas de suas colunas em relação a uma linha escolhida, portanto, como mencionado acima, procure escolher a coluna que contenha a maior quantidade de zeros.

Exemplo com uma matriz 4x4[editar | editar código-fonte]

Seja a matriz com 4 linhas e 4 colunas

Aplicando a fórmula mencionada acima, temos:

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

onde Ai,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem. O cálculo é longo mas é fácil:

Caso geral[editar | editar código-fonte]

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

Matrizes por [editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A, por é

Cálculo de determinantes por triangularização[editar | editar código-fonte]

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 11);
  • Multiplicar uma linha por um número real não nulo, multiplica o determinante por (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

[11]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Independência Linear[editar | editar código-fonte]

Como mencionado acima[nota 2], o determinante de uma matriz (com entradas reais ou complexas, por exemplo) é zero se e somente se os vetores de coluna (ou os vetores de linha) da matriz forem linearmente dependentes. Assim, determinantes podem ser usados para caracterizar vetores linearmente dependentes. Por exemplo, dados dois vetores linearmente independentes em , um terceiro vetor está no plano medido pelos dois primeiros vetores exatamente se o determinante da matriz 3 × 3 que consiste nos três vetores for zero. A mesma ideia também é usada na teoria das equações diferenciais: dadas n funções (supostamente n - 1 vezes diferenciáveis), o Wronskiano é definido como

É diferente de zero (para alguns x) em um intervalo especificado se e somente se as funções fornecidas e todas as suas derivadas até a ordem n-1 forem linearmente independentes. Se for demonstrado que o Wronskiano é zero em todo lugar em um intervalo, no caso de funções analíticas, isso implica que as funções fornecidas são linearmente dependentes.

Orientação de uma base[editar | editar código-fonte]

O determinante pode ser considerado como atribuindo um número a cada sequência de n vetores em , usando a matriz quadrada cujas colunas são os vetores fornecidos. Por exemplo, uma matriz ortogonal com entradas em representa uma base ortonormal no espaço euclidiano. O determinante dessa matriz determina se a orientação da base é consistente ou oposta à orientação da base canônica. Se o determinante for +1, a base terá a mesma orientação. Se for -1, a base tem a orientação oposta.

Em geral, se o determinante de A é positivo, A representa uma transformação linear que preserva a orientação (se A é uma matriz ortogonal 2 × 2 ou 3 × 3, isso é uma rotação), enquanto que se for negativo, A mudará a orientação da base.

Volume e determinante jacobiano[editar | editar código-fonte]

Como apontado acima, o valor absoluto do determinante de vetores reais é igual ao volume do paralelepípedo medido por esses vetores. Como conseqüência, se é o mapa linear representado pela matriz A e S é qualquer subconjunto mensurável de , o volume de f (S) é dado por | det (A) | vezes o volume de S. Em geral, se o mapa linear é representado pela matriz m x n A, então o volume n-dimensional de f (S) é dado por:

Ao calcular o volume do tetraedro delimitado por quatro pontos, eles podem ser usados para identificar linhas de inclinação. O volume de qualquer tetraedro, dados seus vértices a, b, c e d, é ou qualquer outra combinação de pares de vértices isso formaria uma árvore estendida sobre os vértices.

Para uma função diferenciável geral, grande parte das opções acima se mantém considerando a matriz jacobiana de f. Para

a matriz jacobiana é a matriz n × n cujas entradas são dadas por

Seu determinante, o determinante jacobiano, aparece na versão de dimensão mais alta da integração por substituição: para funções adequadas f e um subconjunto aberto U de (o domínio de f), a integral sobre f (U) de alguma outra função é dado por

O jacobiano também ocorre no teorema da função inversa.

Determinante de Vandermonde (alternativo)[editar | editar código-fonte]

O determinante de ordem 3 da matriz de Vandermonde é

Em geral, o determinante de Vandermonde de n-sima ordem é

onde o lado direito é o produto continuado de todas as diferenças que podem ser formadas a partir dos pares de números retirados de , com a ordem das diferenças encontradas no ordem invertida dos sufixos envolvidos.

Circulantes[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz Circulante

Segunda ordem

Terceira ordem

onde ω e ω2 são as raízes complexas do cubo de 1. Em geral, o determinante circulante de n-ordem é

onde ωj é a enésima raiz de 1.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. Retirado e traduzido da wikipédia inglesa na página Determinant
  2. Retirado e traduzido da wikipédia inglesa na página Determinant
  1. A notação foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês Arthur Cayley (MacTutor).

Referências

  1. Carlos Alberto Campagner. «Determinante». UOL - Educação. Consultado em 28 de junho de 2013 
  2. PAIVA, Manoel Todrigues (2010). Matemática: Paiva, 2. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516068332 
  3. A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory : «Archived copy». Consultado em 24 de janeiro de 2012. Arquivado do original em 10 de setembro de 2012 
  4. a b c d e f History of matrices and determinants: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
  5. Origins of mathematical terms: http://jeff560.tripod.com/d.html
  6. History of matrix notation: http://jeff560.tripod.com/matrices.html
  7. Callioli 1990, p. 205
  8. Callioli 1990, p. 219
  9. a b c IEZZI, Gelson (1977). Fundamentos de matemática elementar, 4: sequências, progressões, determinantes e sistemas lineares. São Paulo: Atual. ISBN 9788535717488 
  10. Teorema de Laplace
  11. «Outros exemplos e métodos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 18 de julho de 2018 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. São Paulo: Atual. ISBN 9788570562975 
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