Determinante

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Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.[1] Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja o conjunto das matrizes com linhas e colunas sobre um corpo Pode-se provar que existe uma única função com as seguintes propriedades:

  1. é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;
  2. onde é a matriz identidade.

Esta função denomina-se de determinante.

O determinante de uma matriz representa-se por ou por [Nota 1]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  1. O determinante da matriz identidade é um:[2]
      
  2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta:
      
  3. Se uma matriz quadrada é invertível então, o determinante da sua inversa é o inverso do seu determinante:
       Resulta desta propriedade ainda, que para matrizes invertíveis, verifica-se que
  4. Em duas matrizes quadradas da mesma ordem, o determinante do produto é o produto dos determinantes:[3]
      
  5. O determinante da multiplicação de um escalar por uma matriz quadrada de ordem resulta nesse escalar elevado a vezes o determinante dessa matriz:
       onde é a ordem da matriz
  6. Se é ortogonal, então
      
  7. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
       Seja uma matriz triangular de ordem então
  8. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então
  9. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de como soma de duas parcelas então é a soma de dois determinantes de ordem cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;
  10. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um escalar então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de multiplicado por
  11. Se permutarmos duas linhas ou colunas de então o determinante da nova matriz é
  12. Se tem duas linhas (ou colunas) iguais, então
  13. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de

Determinante de uma matriz de ordem 1[editar | editar código-fonte]

O determinante da matriz de ordem é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real

Por exemplo:
então

Determinante de matriz de ordem 2[editar | editar código-fonte]

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

Por exemplo, o determinante da matriz é dado por:

Determinante de matriz de terceira ordem[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

  • Por exemplo:

Determinantes de ordem maior ou igual a 4[editar | editar código-fonte]

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem superior a 3 utiliza-se o teorema de Laplace, que estabelece o seguinte:

O determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos.[4]

O complemento algébrico de um elemento de uma matriz é o número sendo o determinante da matriz que se obtém eliminando da matriz original a linha i e a coluna j.

Na prática, isto equivale a reduzir o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n ao cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O Teorema de Laplace pode ser aplicado as vezes que forem necessárias até obter matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais facilmente calculado através da regra de Sarrus.

A escolha da linha ou coluna da matriz a que se aplica este processo é indiferente, contudo, para maior simplicidade dos cálculos, convém escolher a linha ou coluna que contiver mais zeros.

Uma fórmula de somatório pode ser escrita como:

Onde n é o número de linhas da matriz, i é a posição em relação às linhas, j é a posição em relação às colunas, e é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Note que esse somatório depende apenas de suas colunas em relação a uma linha escolhida, portanto, como mencionado acima, procure escolher a coluna que contenha a maior quantidade de zeros.

Exemplo com uma matriz 4x4[editar | editar código-fonte]

Seja a matriz com 4 linhas e 4 colunas

Aplicando a fórmula mencionada acima, temos:

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

onde Ai,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Retorna-se ao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem. O cálculo é longo mas é fácil:

Caso geral[editar | editar código-fonte]

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

Matrizes por [editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz de tamanho arbitrário pode ser encontrado pela fórmula de Leibniz para determinante.

A fórmula de Leibniz para determinante de uma matriz A, por é

Cálculo de determinantes por triangularização[editar | editar código-fonte]

Tendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5), a ideia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:

  • Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 11);
  • Multiplicar uma linha por um número real não nulo, multiplica o determinante por (propriedade 6);
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).

Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operações elementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído de passos simples: a cada coluna, da primeira à penultima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonal principal. Veja o exemplo a seguir:

[5]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. A notação foi introduzida pela primeira vez por volta de 1841 pelo matemático inglês Arthur Cayley (MacTutor).

Referências

  1. Carlos Alberto Campagner. «Determinante». UOL - Educação. Consultado em 28 de junho de 2013. 
  2. Callioli 1990, p. 205
  3. Callioli 1990, p. 219
  4. Teorema de Laplace
  5. «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-19. 

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Callioli, Carlos A.; Hygino H. Domingues; Roberto C. F. Costa (1990). Álgebra Linear e Aplicações 6 ed. (São Paulo: Atual). ISBN 9788570562975. 
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