Diagrama comutativo

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Na matemática, e especialmente na teoria das categorias, um diagrama comutativo é um diagrama de objectos (também conhecidos por vértices) e morfismos (setas) tal que todos os seus caminhos com o mesmo inicio e fim levam ao mesmo resultado por composição. Os diagramas cumutativos cumprem o mesmo papel na teoria das categorias que as equações cumprem para a álgebra. (ver Barr-Wells, Secção 1.7)

Note-se que um diagrama pode não ser cumutativo, significando que todos os caminhos nesse diagrama podem não dar o mesmo resultado.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

No seguinte diagrama exemplificando o teorema de isomorfismo, comutatividade significa f = \tilde{f} \circ \pi:

First isomorphism theorem (plain).svg

De seguida está um quadrado comutativo genérico no qual h \circ f = k \circ g:

Commutative square.svg

Símbolos[editar | editar código-fonte]

Em textos de algebra, o tipo de morfismo pode ser declarado com diferentes utilizações para as setas: monomorfismo com \hookrightarrow, epimorfismo com \twoheadrightarrow, e isomorfismo com \overset{\sim}{\rightarrow}. A seta tracejada significa, normalmente, a noção de que o morfismo indicado existe sempre que o resto do diagrama se mantenha coerente. Isto é comum o suficiente para que textos sobre a matéria careçam deste esclarecimento sobre os significados das diferentes setas.

Verificar a comutatividade[editar | editar código-fonte]

A comutatividade faz sentido para um polígono de qualquer número finito de lados (1 ou 2 inclusive), e um diagrama é comutativo se cada sub-diagrama do polígono é comutativo.

Procura por diagrama[editar | editar código-fonte]

Procura por diagrama (sugere-se para português do inglês diagram chasing) é usado especialmente na álgebra homológica. Dado um diagrama comutativo, a prova por procura por diagrama envolve a utilização das propriedade do diagrama, tais como mapeamento injectivo, sobrejectivo, ou sequências exactas. Este silogismo é construído para que o aspecto gráfico do diagrama é apenas uma auxílio. Parte do princípio que se procura (persegue) elementos à volta do diagrama até que o elemento ou resultado desejado seja construído ou verificado.

Exemplos de provas por procura por diagrama incluem típicamente o lema dos cinco (five lemma), o lema da cobra (snake lemma), o lema zig-zag (zig-zag lemma), e o lema dos nove (nine lemma).

Diagramas como functores[editar | editar código-fonte]

Um diagrama comutativo numa categoria C pode ser interpretado como functor a partir de um índice J para C; podemos chamar o functor como um diagrama.

Mais formalmente, um diagrama comutativo é uma visualização do diagrama indexado por um conjunto parcialmente ordenado:

  • tira-se um nó por cada objecto na categoria do índice,
  • uma seta por cada geração de morfismos,
  • omitindo os mapas de indentificação e morfismos que podes ser expressos como composições,
  • e a comutatividade do diagrama (a igualdade entre diferente composições de mapas entre dois objectos) corresponde à exclusividade do mapa entre os dois objectos no conjunto parcialmente ordenado.

Por outro lado, dado um diagrama comutativo, define-se um conjunto parcialmente ordenado:

  • os objectos são nós,
  • existe morfismo entre quaisquer dois objectos apenas e somente se existe um caminho entre os nós,
  • com a relação que este morfismo é único (qualquer composição de mapas é definido pelo seu dominio e objectivo: este é o axioma da comutatividade).

No entanto, nem todos os diagrama são comutativos: mais simplesmente, o diagrama de um objecto com um endomorfismo (f\colon X \to X), ou com duas setas paralelas (\bullet \rightrightarrows \bullet, isto é, f,g\colon X \to Y, por chamada de quiver ou digrafo), como é utilizado na definição de equalizador nao precisa ser comutativo. Para além disso, os diagramas podem ser confusos ou impossíveis de desenhar quando o número de objectos ou morfismos é extenso (ou mesmo infinito).

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]