Diluição da precisão

Diluição da precisão (DOP, na sigla em inglês), ou diluição geométrica da precisão (GDOP, na sigla em inglês), é um termo utilizado em navegação por satélite e engenharia geomática para especificar a propagação de erros como um efeito matemático da geometria do satélite de navegação na precisão da medição posicional.

Entendendo a diluição da precisão com um exemplo. Em A, houve a medição da distância até dois pontos de referência e sua localização estabelecida como a interseção de dois círculos com o raio medido. Em B, a medição tem uma certa margem de erro, e sua localização real estará em qualquer lugar dentro da área verde. Em C, o erro de medição é o mesmo, mas o erro na posição aumentou consideravelmente devido à disposição dos pontos de referência.

Introdução

Alta DOP vs Baixa DOP

Satélites de navegação com geometria deficiente.

Satélites de navegação com geometria eficiente.

O conceito de diluição de precisão (DOP) teve origem com os usuários do sistema de navegação LORAN. A ideia da DOP geométrica é declarar como os erros na medição afetarão a estimativa do estado final. Isso pode ser definido como:

$\operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{localização}})}{\Delta ({\text{data}})}}$

Com a ampla adoção de sistemas de navegação por satélite, o termo passou a ser usado de forma muito mais abrangente. Desconsiderando os efeitos ionosféricos e troposféricos, o sinal dos satélites de navegação possui uma precisão fixa. Portanto, a geometria relativa entre satélite e receptor desempenha um papel fundamental na determinação da precisão das posições e tempos estimados. Devido à geometria relativa de qualquer satélite em relação a um receptor, a precisão na pseudodistância do satélite se traduz em um componente correspondente em cada uma das quatro dimensões da posição medidas pelo receptor (ou seja, $x$, $y$, $z$, e $t$ A precisão de múltiplos satélites visíveis para um receptor se combina de acordo com a posição relativa dos satélites para determinar o nível de precisão em cada dimensão da medição do receptor. Quando os satélites de navegação visíveis estão próximos uns dos outros no céu, diz-se que a geometria é fraca e o valor de DOP é alto; quando estão distantes, a geometria é forte e o valor de DOP é baixo. Considere dois anéis sobrepostos, ou anéis anulares, com centros diferentes. Se eles se sobrepõem em ângulos retos, a extensão máxima da sobreposição é muito menor do que se eles se sobrepuserem em ângulos quase paralelos. Assim, um valor de DOP baixo representa uma melhor precisão posicional devido à maior separação angular entre os satélites usados para calcular a posição de uma unidade. Outros fatores que podem aumentar o DOP efetivo são obstruções como montanhas ou edifícios próximos.

Computação

Como primeiro passo no cálculo do DOP, considere os vetores unitários do receptor ao satélite $i$ :${\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}$

, onde $x,y,z$ denotam a posição do receptor e $x_{i},y_{i},z_{i}$ Seja i a posição do satélite i. Formule a matriz A, que (para 4 equações residuais de medição de pseudodistância) é:

$A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}$

Os três primeiros elementos de cada linha de A são as componentes de um vetor unitário do receptor ao satélite indicado. O último elemento de cada linha refere-se à derivada parcial da pseudodistância em relação ao desvio do relógio do receptor. Formule a matriz Q como a matriz de covariância resultante da matriz normal de mínimos quadrados:

$Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}$

onde $J_{x}$ é a matriz Jacobiana das equações residuais de medição do sensor. $f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0$, no que diz respeito às incógnitas, ${\underline {x}}$ ; $J_{d}$ é a matriz Jacobiana das equações residuais de medição do sensor em relação às quantidades medidas. ${\underline {d}}$, e $C_{d}$ é a matriz de correlação para o ruído nas quantidades medidas. Essa fórmula para Q surge da aplicação da melhor estimativa linear não viesada a uma versão linearizada das equações residuais da medição do sensor em torno da solução atual. $\Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)$, exceto no caso do AZUL $C_{d}$ é uma matriz de covariância de ruído em vez da matriz de correlação de ruído usada no DOP, e a razão pela qual o DOP faz essa substituição é para obter um erro relativo . Quando $C_{d}$ é uma matriz de covariância de ruído, $Q$ é uma estimativa da matriz de covariância do ruído nas incógnitas devido ao ruído nas grandezas medidas. É a estimativa obtida pela técnica de quantificação de incerteza de primeira ordem e segundo momento (FOSM), que era o estado da arte na década de 1980. Para que a teoria FOSM seja estritamente aplicável, ou as distribuições de ruído de entrada precisam ser gaussianas, ou os desvios padrão do ruído de medição precisam ser pequenos em relação à taxa de variação na saída próxima à solução. Nesse contexto, o segundo critério é tipicamente o que é satisfeito. Este cálculo (ou seja, para as 4 equações residuais de medição de tempo de chegada/alcance) está de acordo com [6], onde a matriz de ponderação, $P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}$ acaba se simplificando na matriz identidade.

PDOP, TDOP e GDOP são dados por:${\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}$

A diluição horizontal e vertical da precisão,

${\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}$