Distribuição F de Fisher-Snedecor

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Distribuição F de Fisher-Snedecor
F-distribution pdf.svg
Função densidade de probabilidade
F dist cdf.svg
Função distribuição acumulada
Parâmetros , graus de liberdade
Suporte
f.d.p.
f.d.a.
Média
para
Moda
para
Variância
para
Obliquidade
para
Curtose Definida no texto.
Entropia
Função Geradora de Momentos Não existe. Os momentos brutos estão definidos no texto.
Função Característica
onde é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo


Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição F de Fisher-Snedecor, também conhecida como distribuição F, distribuição F de Fisher e distribuição F de Snedecor, em homenagem ao biólogo e estatístico britânico Ronald Fisher e ao matemático norte-americano George Waddel Snedecor,[1] é uma distribuição de probabilidade contínua que surge frequentemente como a distribuição nula da estatística de um teste, mais notadamente na análise de variância, como no teste F.[2][3][4][5]

Definição[editar | editar código-fonte]

Se uma variável aleatória tiver uma distribuição F com parâmetros e , escrevemos . Então, a função densidade de probabilidade de é dada por

para real e maior que zero. Aqui, é uma função beta. Em muitas aplicações, os parâmetros e são números inteiros positivos, mas a distribuição é bem definida para valores reais positivos destes parâmetros.

A função distribuição acumulada é

em que é a função beta incompleta regularizada.

O valor esperado, a variância e outros detalhes sobre são dados na caixa ao lado. Para , a curtose de excesso é

.

O -ésimo momento de uma distribuição existe e é finita somente quando e é igual a[6]

A distribuição F é uma parametrização particular da distribuição beta prima, também chamada de distribuição beta de segundo tipo.

A função característica é[7]

em que é a função hipergeométrica confluente do segundo tipo.

Caracterização[editar | editar código-fonte]

O valor observado de uma variável aleatória de distribuição F com parâmetros e surge como a razão de dois valores observados de distribuição qui-quadrado apropriadamente escalados:[8]

em que

  • e têm distribuições qui-quadrado com graus de liberdade e respectivamente e
  • e são independentes.

Em instâncias em que a distribuição F é usada, por exemplo, na análise de variância, a independência de e pode ser demonstrada pela aplicação do teorema de Cochran.

Equivalentemente, a variável aleatória da distribuição F também pode ser escrita como

em que e são as somas dos quadrados e de dois processos normais com variâncias e divididas pelo número correspondente de graus de liberdades. e são respectivamente e .

Em um contexto frequentista, uma distribuição F escalada dá portanto a probabilidade , ela própria com distribuição F, sem qualquer escala, o que se aplica onde é igual . Este é o contexto em que a distribuição F aparece de forma mais generalizada em testes F: em que a hipótese nula é de que duas variâncias normais independentes são iguais e as somas observadas de alguns quadrados apropriadamente selecionados são então examinadas a fim de verificar se sua razão é significantemente incompatível com esta hipótese nula.

A quantidade tem a mesma distribuição na estatística bayesiana, se um método de Jeffreys não informativo, de rescalamento invariante for tomado para as probabilidades a priori de e .[9] Neste contexto, uma distribuição F escalada dá assim a probabilidade a posteriori , em que as somas agora observadas e são tomadas como conhecidas.

De forma geral, resumida e simplificada, a distribuição F tem como características básicas:

  • É uma família de curvas, cada uma, determinada por dois tipos de graus de liberdade, os correspondentes à variância no numerador, e os que correspondem à variância no denominador.
  • É uma distribuição positivamente assimétrica.
  • A área total sob cada curva de uma distribuição F é igual a 1.
  • Todos os valores de X são maiores ou iguais a 0.
  • Para todas as distribuições F, o valor médio de X é aproximadamente igual a 1.[10]

Equação diferencial[editar | editar código-fonte]

A função densidade de probabilidade da distribuição F é uma solução da seguinte equação diferencial:

Propriedades e distribuições relacionadas[editar | editar código-fonte]

  • Se e forem independentes, então ;
  • Se forem independentes, então ;
  • Se (distribuição beta), então ;
  • Equivalentemente, se , então ;
  • Se , então tem a distribuição qui-quadrado ;
  • é equivalente a distribuição T-quadrado de Hotelling escalada ;
  • Se , então ;
  • Se (distribuição t de Student), então:
  • A distribuição F é um caso especial de distribuição de Pearson de tipo 6;
  • Se e forem independentes com , então:
;
  • Se , então (distribuição z de Fisher);
  • A distribuição F não central simplifica à distribuição F se ;
  • A distribuição F não central dupla simplifica à distribuição F se ;
  • Se for o quantil para e for o quantil para , então
.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F)». jeff560.tripod.com. Consultado em 19 de junho de 2017 
  2. Johnson, Norman Lloyd; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (8 de maio de 1995). Continuous univariate distributions (em inglês). [S.l.]: Wiley & Sons. ISBN 9780471584940 
  3. Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (30 de abril de 2012). Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (em inglês). [S.l.]: Courier Corporation. ISBN 9780486158242 
  4. «1.3.6.6.5. F Distribution». www.itl.nist.gov. Consultado em 19 de junho de 2017 
  5. Mood, Alexander McFarlane; Graybill, Franklin A.; Boes, Duane C. (January 1974). Introduction to the Theory of Statistics (em inglês). [S.l.]: McGraw-Hill. ISBN 9780070428645  Verifique data em: |data= (ajuda)
  6. «F distribution». www.statlect.com. Consultado em 19 de junho de 2017 
  7. Phillips, P. C. B. (1 de abril de 1982). «The true characteristic function of the F distribution». Biometrika. 69 (1): 261–264. ISSN 0006-3444. doi:10.1093/biomet/69.1.261 
  8. DeGroot, Morris H.; Schervish, Mark J. (2002). Probability and Statistics (em inglês). [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 9780201524888 
  9. Box, George E. P.; Tiao, George C. (25 de janeiro de 2011). Bayesian Inference in Statistical Analysis (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031445 
  10. LARSON, Ron; FARBER, Betsy (2016). Estatística Aplicada. São Paulo: PEARSON. 2 páginas 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]