Distribuição de Gumbel

Distribuição de Gumbel
Função densidade de probabilidade
Função de distribuição acumulada
Parâmetros	$\mu \in \mathbb {R}$ $\beta >0,$
Suporte	$\mathbb {R}$
f.d.p.	${\frac {1}{\beta }}e^{-(z+e^{-z})}$ onde $z={\frac {x-\mu }{\beta }}$
f.d.a.	$e^{-e^{-(x-\mu )/\beta }}$
Média	$\mu +\beta \gamma$ onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni
Mediana	$\mu -\beta \ln(\ln 2)$
Moda	$\mu$
Variância	${\frac {\pi ^{2}}{6}}\beta ^{2}$
Obliquidade	${\frac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 1.14$
Curtose	${\frac {12}{5}}$
Entropia	$\ln(\beta )+\gamma +1$
Função Geradora de Momentos	$\Gamma (1-\beta t)e^{\mu t}$
Função Característica	$\Gamma (1-i\beta t)e^{i\mu t}$

Método de Gumbel é também conhecida como método de eventos extremos ou de Ficher-Tippett. Foi desenvolvido por Emil Julius Gumbel.

É aplicada a métodos extremos, em séries anuais. Quando for de interesse estudar os valores mínimos prováveis de um fenômeno, a série deverá conter os valores mínimos de cada ano, ordenados de forma crescente; este é o caso das vazões mínimas.

Este método assume que os valores de X são limitados apenas no sentido positivo; a parte superior da distribuição X, ou seja, a parte que trata dos valores máximos mais frequentes é do tipo exponencial, a função tem a seguinte forma:

$P=1-e^{-e^{-y}},$

onde Y é a variável reduzida da distribuição de Gumbel.