Divergência

Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a magnitude de "fonte" ou "poço/sorvedouro" de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se movendo. Se o ar é aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, então a divergência do campo de velocidade nesta região será positivo pois, se observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume. Se o ar resfria e se contrai, o divergência é negativo pois há, na região, uma convergência de ar: teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume.

Definição

O operador divergência é definido como a variação do fluxo líquido do campo vetorial através de uma superfície de um volume em uma região.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over V}\;dS$$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{V \rightarrow 0} \iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS$

Onde V é o volume de uma região arbitrária em R³ que inclui um ponto P, S(V) é a superfície da região, a integral é a integral de superfície e n o vetor normal a área.

O resultado é uma função : $f:R^{3}\mapsto R$$f : R^3 \mapsto R$ da localização do ponto P. Esta função pode ser vista como um campo escalar e em cada ponto tem-se o valor da divergência.

A divergência de um campo vetorial, indica a existência de fontes ou sumidouros associados a esse campo. Se a divergência em um ponto é nula, o fluxo total que entra é o mesmo que sai em um volume arbitrariamente pequeno circundando o ponto considerado, indicando assim uma certa conservação das linhas de campo naquele ponto. Se a divergência é positiva, existe um fluxo liquido para o exterior do volume diferencial ao redor do ponto considerado, indicando a presença de uma fonte capaz de produzir essas linhas de campo. Finalmente, quando a divergência é negativa, existe um fluxo líquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da existência de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob consideração.

Aplicação ao sistema de coordenadas

Seja x, y, z um sistema de coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano tridimensional, e seja i, j, k as bases dos vetores unitários.

A divergência de um campo vetorial continuamente diferenciável F = F_x i + F_y j + F_z k é definido como o:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}.$

Embora expresso em termos de coordenadas, o resultado é invariante sob transformações ortogonais.

A notação comum para a divergência ∇·F é um conveniente mnemônico, onde o ponto denota o produto interno (não se trata do gradiente em si).

Generalizações

A divergência de um vetor pode ser definido como um número qualquer de dimensões. Se

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}),$$\mathbf{F}=(F_1, F_2, \dots, F_n),$

então

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}.$$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x_1} +\frac{\partial F_2}{\partial x_2}+\cdots +\frac{\partial F_n}{\partial x_n}.$

A noção de divergência pode ser estendida ainda para um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal, de dimensão 3, como

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}h_{3}F_{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}h_{2}F_{3}\right)\right].$$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_1} \left( h_{2}h_{3}F_1 \right) +\frac{\partial}{\partial q_2} \left( h_{1}h_{3}F_2 \right) +\frac{\partial}{\partial q_3} \left( h_{1}h_{2}F_3 \right) \right].$

onde

$q_{i}$$q_{i}$ é a i-ésima coordenada

$h_{i}$$h_{i}$ é o fator de escala associada i-ésima coordenada

Propriedades:

Sendo F e G vetores e a e b números reais valem as propriedades abaixo:

- $\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

- $\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

- $\operatorname {div} (\nabla \varphi )=\Delta \varphi .$$\operatorname {div} (\nabla \varphi )=\Delta \varphi .$

- $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$

- $\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

Ver também

• Nabla
• Teorema da divergência
• Gradiente
• Rotacional

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Divergence no MathWorld.
• A ideia da divergência e rotacional