Divergência

Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a magnitude de "fonte" ou "poço/sorvedouro" de um campo vetorial em um dado ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se movendo. Se o ar é aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, então a divergência do campo de velocidade nesta região será positivo pois, se observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do que entrando nesse volume; uma outra maneira de expressar esta condição é dizendo que neste caso temos "fontes" no sistema/ponto. Se o ar resfria e se contrai, o divergência é negativo pois há, na região, uma convergência de ar: teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume. Podemos também expressar este caso dizendo que temos "sumidouros".

Outro caso que pode ocorrer é o divergente ser zero. Neste caso dizemos que o sistema está em regime estacionário; ou seja, a energia não varia com o tempo. Não há ,portanto, acúmulo nem sumidouro de energia. No contexto da Mecânica dos fluidos, temos a incompressíbilidade de fluídos ( neste caso os líquidos especificadamente) uma vez que a densidade de líquidos é praticamente uma constante em regime estacionário. [2]

Os exemplos acima explicados utilizaram-se conceitos de transporte de massa, mas o divergente está associado a variações de outras grandezas como o calor na Lei de Fourier e o transporte de carga na Lei de Ohm.

Definição

O operador divergência é definido como a variação do fluxo líquido do campo vetorial através de uma superfície de um volume em uma região.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{V\rightarrow 0}\iint _{S(V)}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \over V}\;dS$

Onde V é o volume de uma região arbitrária em R³ que inclui um ponto P, S(V) é a superfície da região, a integral é a integral de superfície e n o vetor normal a área.

O resultado é uma função : $f:R^{3}\mapsto R$ da localização do ponto P. Esta função pode ser vista como um campo escalar e em cada ponto tem-se o valor da divergência.

A divergência de um campo vetorial, indica a existência de fontes ou sumidouros associados a esse campo. Se a divergência em um ponto é nula, o fluxo total que entra é o mesmo que sai em um volume arbitrariamente pequeno circundando o ponto considerado, indicando assim uma certa conservação das linhas de campo naquele ponto. Se a divergência é positiva, existe um fluxo liquido para o exterior do volume diferencial ao redor do ponto considerado, indicando a presença de uma fonte capaz de produzir essas linhas de campo. Finalmente, quando a divergência é negativa, existe um fluxo líquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da existência de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob consideração.

Aplicação ao sistema de coordenadas

Coordenadas cartesianas

Seja x, y, z um sistema de coordenadas cartesianas em um espaço euclidiano tridimensional, e seja i, j, k as bases dos vetores unitários.

A divergência de um campo vetorial continuamente diferenciável F = F_x i + F_y j + F_z k é definido como o:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Embora expresso em termos de coordenadas, o resultado é invariante sob transformações ortogonais.

Notamos, portanto que o divergente de um campo vetorial é um campo escalar.

A notação comum para a divergência ∇·F é um conveniente mnemônico, onde o ponto denota o produto interno (não se trata do gradiente em si).

Coordenadas cilíndricas

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Coordenadas esféricas

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial (sen\theta F_{\theta })}{\partial \theta }}+{\frac {1}{rsen\theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}$

Generalizações

A divergência de um vetor pode ser definido como um número qualquer de dimensões. Se

$\mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}),$

então

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{2}}}+\cdots +{\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{n}}}$

A noção de divergência pode ser estendida ainda para um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal, de dimensão 3, como

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}h_{3}F_{2}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}h_{2}F_{3}\right)\right]$

onde

$q_{i}$ é a i-ésima coordenada

$h_{i}$ é o fator de escala associada i-ésima coordenada

Propriedades

Sendo F e G vetores e a e b números reais valem as propriedades abaixo:

- $\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

- $\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} )$

- $\nabla \cdot ({\frac {\mathbf {F} }{\varphi }})={\frac {\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} )-(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} }{\varphi ^{2}}}$

- $\operatorname {div} (\nabla \varphi )=\Delta \varphi .$

onde Δ é uma Derivada de segunda ordem.

- $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$

- $\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )$

Ver também

• Nabla
• Teorema da divergência
• Gradiente
• Rotacional

Ligações externas

• Eric W. Weisstein, Divergence no MathWorld.
• A ideia da divergência e rotacional