Dupla negação

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Na lógica proposicional, a dupla negação é o teorema que afirma que "Se uma declaração é verdadeira, então não é o caso que a declaração não é verdadeira". Isto é expresso ao dizer que uma proposição A é logicamente equivalente a não  (não-A), ou pela fórmula A ≡ ~(~A) onde o sinal ≡ exprime a equivalência lógica e o sinal ~ expressa negação.[1]

Como a lei do terceiro excluído, este princípio é considerado uma lei do pensamento na lógica clássica,[2] mas ele não é permitido pela lógica intuicionista.[3] O princípio foi estabelecido como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:

[4]
"Este é o princípio da dupla negação, isto é, uma proposição é equivalente a falsidade de sua negação."

O principium contradictiones dos lógicos modernos (particularmente Leibniz e Kant) na fórmula A  é não não-A, difere inteiramente em significado e aplicação da proposição Aristotélica [ i.e. Lei de Contradição: não (A e não-A) i.e. ~(A & ~A), ou não (( B é A) e (B é não-A))]. Este último refere-se à relação entre um julgamento afirmativo e outro negativo.

De acordo com Aristóteles, um juízo [B é julgado ser um A] contradiz outro [B é considerado ser um não-A]. A proposição posterior [ A não é não-A ] refere-se à relação entre sujeito e predicado em uma única sentença; o predicado contradiz o sujeito. Aristóteles afirma que o juízo é falso quando outro é verdadeiro; escritores posteriores [Leibniz e Kant] determinam que a sentença é em si e absolutamente falsa, porque o predicado contradiz o sujeito. O que os escritores posteriores desejam, é um princípio a partir do qual ele pode saber se certas proposições são verdadeiras nelas mesmas. A partir da proposição Aristotélica não podemos imediatamente inferir a veracidade ou a falsidade de qualquer proposição, mas apenas a impossibilidade de crer afirmação e negação ao mesmo tempo.[5]

Eliminação da negativa dupla[editar | editar código-fonte]

Eliminação da negativa dupla (também chamada de eliminação da dupla negação, introdução da negativa dupla, introdução da dupla negação, negação dupla, ou eliminação da negação[6][7][8]) são duas regras de substituição válidas. Eles são as inferências de que se A é verdadeira, então não não-A é verdadeira e o seu inverso, se não não-A é verdadeira, então A é verdadeira. A regra permite introduzir ou eliminar uma negação de uma prova lógica. A regra é baseada na equivalência de, por exemplo, é falso que não está chovendo. e está chovendo.

A regra da introdução da dupla negação é:

e a regra de eliminação de dupla negação é:

Onde "" é um símbolo da metalógica  que representa "pode ser substituído em uma prova por."

Notação Formal[editar | editar código-fonte]

A regra de introdução da dupla negação pode ser escrito em notação de sequente:

A regra de  eliminação de dupla negação pode ser escrita como:

Em regra de inferência:

e

ou como uma tautologia (sentença simples de cálculo proposicional):

e

Estes podem ser combinadas em uma única fórmula bicondicional:

.

Já que bicondicionalidade é uma relação de equivalência, qualquer instância de ¬¬A em uma fórmula bem-formada pode ser substituída por A, deixando inalterada o valor-verdade da fórmula bem-formada.

Eliminação da negativa dupla é um teorema da lógica clássica, mas não das lógicas mais fracas, tais como a lógica intuicionista e a lógica minimal. Devido ao seu carácter construtivo, uma instrução como Não é o caso de não estar chovendo , é mais fraca do que está chovendo. Este último exige uma prova de chuva, enquanto o primeiro apenas exige uma prova de que a chuva não seria contraditória. (Essa distinção também ocorre em linguagem natural, na forma de lítotes.) A introdução da dupla negação é um teorema das lógicas intuicionista e minimal, como .

Na teoria dos conjuntos, temos também a operação de negação do complemento que obedece a esta propriedade: um conjunto A e um conjunto (AC)C (onde AC representa o complemento de A) são o mesmo.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • William Hamilton, De 1860, Palestras sobre a Metafísica e a Lógica, Vol. II. Lógica; Editado por Henry Mansel e John Veitch, Boston, Gould e Lincoln. Disponível online a partir de googlebooks.
  • Christoph Sigwart, De 1895, de Lógica: A ideia, Conceito e Inferência; Segunda Edição, Traduzido por Helen Dendy, Macmillan & Co. Nova Iorque. Disponível online a partir de googlebooks.
  • Stephen C. Kleene, 1952, Introdução à Metamatemática, 6ª reimpressão com correções de 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0 7204 2103 9.
  • Stephen C. Kleene, 1967, Lógica Matemática, Dover, edição de 2002, Dover Publications, Inc, Mineola N.Y. ISBN 0-486-42533-9 (pbk.)
  • Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, o Principia Mathematica *56, 2ª edição, 1927, reimpressão de 1962, Cambridge University Press, Londres, reino UNIDO, sem ISBN ou LCCCN.

Referências

  1. Or alternate symbolism such as A ↔ ¬(¬A) or Kleene's *49o: A ∾ ¬¬A (Kleene 1952:119; in the original Kleene uses an elongated tilde ∾ for logical equivalence, approximated here with a "lazy S".)
  2. Hamilton is discussing Hegel in the following: "In the more recent systems of philosophy, the universality and necessity of the axiom of Reason has, with other logical laws, been controverted and rejected by speculators on the absolute.[On principle of Double Negation as another law of Thought, see Fries, Logik, §41, p. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialecktik, §165, p. 453; Beneke, Lehrbuch der Logic, §64, p. 41.]" (Hamilton 1860:68)
  3. The o of Kleene's formula *49o indicates "the demonstration is not valid for both systems [classical system and intuitionistic system]", Kleene 1952:101.
  4. PM 1952 reprint of 2nd edition 1927 pages 101-102, page 117.
  5. Sigwart 1895:142-143
  6. Copi and Cohen
  7. Moore and Parker
  8. Hurley