Gráfico da equação

Aqui,
e é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.
O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler (não confundir com a constante de Euler) em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper[1], constante de Néper, número neperiano, número exponencial e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para
, ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718281828459045235360287.
Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:
O número
pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para
quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n.
A função
(função exponencial de base
) pode ser representada da seguinte forma:
, 
assim, por exemplo, tem-se :
ou ainda

Outra maneira de se encontrar o valor de
é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

Ou, de forma mais simplificada (sequência A003417 na OEIS):
![e=[[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]],\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff75a18d55f3ab5200fbfec9713c2cb3a9fddb71)
que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:
![e=[[1,{\textbf {0}},1,1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ]],\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c44a42f3e90e1288ff1af31b771948ec4d4671e)
Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam
já foram desenvolvidas.
A função exponencial
tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

Isto significa que
tem a notável propriedade de que a taxa de variação de
no ponto x = t vale
. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.
Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções
,
também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir
como sendo o único número maior que zero tal que:

O número
é um número irracional e transcendente (como pi). A irracionalidade de
foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de
foi estabelecida por Hermite em 1873.
Conjecturou-se que
é um número normal ou aleatório.
Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

que, por sua vez, advém da série de Taylor para
.
Leonhard Euler começou a usar a letra
para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de
foi na publicação Euler’s Mechanica (1736).
As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque
é a primeira letra da palavra exponencial.
Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre
e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a
.
Dentre as várias séries infinitas que resultam em
, têm-se, além da trivial:
![e=\left[\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee680fb2f6c024d3207b864560743c6502bc0828)
![e=\left[\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fed598ba8fe6acd4dae74a3348d7780f1b1e07)








como limites e produtos infinitos[editar | editar código-fonte]
Os produtos infinitos

e

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

![e=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {n}{{\sqrt[ {n}]{n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310afedad5e855a28eb0d1b232a29031bd682548)
![e=\lim _{{n\to \infty }}\left[{\frac {(n+1)^{{n+1}}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{{n-1}}}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cffa4b98fac483870fb5da1d93940ef414d8319)
com os primeiros 510 dígitos decimais[editar | editar código-fonte]











Referências