e (constante matemática)

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 Nota: Não confundir com a constante de Euler. Para outros sentidos de e, veja e (desambiguação).
Gráfico da equação y = 1/x. Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área sob a curva ser igual a 1

O número e, também conhecido como o número de Euler, é uma constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. Este número pode ser caracterizado de diversas formas. Ele é a base dos logaritmos naturais. É o limite de (1 + 1/n)n quando n se aproxima de infinito, uma expressão que provem da computação dos juros compostos. Também pode ser calculado como soma da série infinita

Ele também é o único número positivo a tal que o gráfico da função y = ax tem um declive de 1 quando x = 0.

A função exponencial (natural) f(x) = ex é a única função f que é igual a sua própria derivada e satisfaz a equação f (0) = 1; portanto, e também pode ser definido como f(1). O logaritmo natural, ou logaritmo de base e, é a função inversa da função exponencial natural. O logaritmo natural para um número natural k > 1 pode ser definido diretamente como a área sob a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k, neste caso, e é o valor de k para o qual esta área é igual a 1 (ver imagem). Há várias outras caracterizações.

O número e também é chamado de número de Euler (não confundir com a constante de Euler ) — nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler — ou constante de Neper — em homenagem a John Napier.[1][2] A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.[3][4]

O número e é de grande importância na matemática,[5] junto de 0, 1, π, e i. Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler e têm papéis importantes e recorrentes na matemática.[6][7] Semelhante à constante π, e é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais).[2] Com 50 casas após a vírgula, o valor de e é:[8]

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995...

História[editar | editar código-fonte]

A primeira referência à constante foi publicado em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base e. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred.[4][9]

A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos.[10][11] Em sua solução, a constante e ocorre como o limite de

em que e representa o número de intervalos em um ano em que o juros compostos é calculado (por exemplo, n = 12 para juros compostos mensalmente).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.[12]

Leonhard Euler começou a utilizar a letra e para a constante em 1737 ou 1728, num artigo não publicado dobre forças explosivas em canhões,[13] em 25 de novembro de 1731.[14][15] A primeira aparição de e em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736).[16] É desconhecido o motivo por que Euler escolheu a letra e.[17] Apesar de que alguns pesquisadores usaram a letra c nos anos subsequentes, a letra e era mais comum e eventualmente tornou-se o padrão.[18]

Euler provou que e é a soma da série infinita

em que n! é o fatorial de n.[4] A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.[19]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Juros compostos[editar | editar código-fonte]

O efeito de ganhar 20% de juros anuais num investimento inicial de mil dólares a várias frequências compostas. A curva limite no topo é o gráfico y = 1000e0,2t, em que y está em dólares, t em anos, e 0,2 = 20%

Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:[4]

Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?

Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses será de 50%, então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1,52 = $ 2,25 no fim do ano. Se for rendimentos trimestrais, renderá $ 1,00 × 1,254 = $ 2,44140625, e mensalmente será $ 1,00 × (1 + 1/12)12 = $ 2,613035... Se há n intervalos compostos, os juros de cada intervalo será 100%/n e o valor no fim do ano será $ 1,00 × (1 + 1/n)n.[20][21]

Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite com n maior e, assim, intervalos de rendimento menores.[4] Com rendimento semanal (n = 52), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário (n = 365) atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que n cresce é o número que ficou conhecido como e. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atingirá $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de R, após t anos, resultará em eRt dólares com capitalização contínua. Aqui, R é a equivalência decimal dos juros expresso em porcentagem, então para 5% de juros, R = 5/100 = 0,05.[20][21]

Ensaio de Bernoulli[editar | editar código-fonte]

Grafico de probabilidade P de não observar eventos independentes cada um de probabilidade 1/n após n ensaios de Bernoulli, e 1 − P vs n ; isso pode ser observado que quando n aumenta, a probabilidade de um evento de chance de 1/n nunca parecer após n tentativas rapidamente converge para 1/e

O Número e também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de um em n e jogue n vezes. À medida que n aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas aproxima-se de 1/e. Para , isso já é aproximadamente 1/2,789509...

Este é um exemplo de um processo de ensaio de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em n de ganhar. Jogando n vezes é modelado pela distribuição binomial, que é proximamente relacionado ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar k vezes das n tentativas é de:[22]

Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez (k = 0) é

O limite da expressão acima, quando n tende a infinito, é precisamente 1/e.

Crescimento e decaimento exponencial[editar | editar código-fonte]

O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade.[21] Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número e é uma escolha comum e conveniente:

Aqui, x0 denota o valor inicial da quantidade x, k é o constante de variação, e τ é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de e.

Distribuição normal padrão[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Distribuição normal

A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão,[23] dado pela função densidade de probabilidade

A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no 12 do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva resulta no fator . Esta função possui o eixo de simetria x = 0, em que obtém o seu valor máximo , e possui os pontos de inflexão x = ±1.

Desarranjo[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Desarranjo

Outra aplicação de e, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos:[24] n convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em n caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por pn, é dada por:

Quando n tende a infinito, pn se aproxima de 1/e. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados as caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é de n!/e arredondado ao inteiro mais próximo, para todo n positivo.[25]

Problemas de planejamento ótimo[editar | editar código-fonte]

O valor máximo de ocorre em x = e. Equivalentemente, para qualquer valor da base b > 1, o valor máximo de x-1logb x ocorre em x = e (O problema de cálculo de Steiner [en], discutido abaixo).

Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento L que foi quebrado em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto de seus comprimentos é[26]

Assintóticos[editar | editar código-fonte]

O número e ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo assintóticos. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para os assintóticos da função fatorial, no qual ambos os números e e π aparecem:[27]

Consequentemente,[27]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Os gráficos das funções xax para quando a = 2 (pontilhado), a = e (azul), e a = 4 (tracejado). Todos eles passam pelo ponto (0,1), mas a reta vermelha (cujo declive é 1) somente é tangente de ex neste caso
O valor da função logarítmica natural para o logaritmando e, isto é, ln e, é igual a 1

A principal motivação para a introdução do número e, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmica.[28] A função exponencial geral y = ax tem uma derivada, dada pelo limite:

O limite entre parênteses à direita é independente da variável x. Seu valor acaba sendo o logaritmo de a na base e. Portanto, quando o valor de a é igual a e, o limite é igual a 1, e assim chega-se à seguinte simples identidade:

Consequentemente, a função exponencial de base e é particularmente adequada para fazer cálculo. Ao escolher e (diferente de qualquer outro número) como base da função exponencial faz os cálculos envolvendo derivadas muito mais simples.

Outra motivação vem ao considerar a derivada do logaritmo de base a (ou seja, loga x),[28] para x > 0

em que foi feita a substituição u = h/x foi feita. O logaritmo de base a de e é 1, se a for igual a e. Então, simbolicamente,

O logaritmo com esta base especial é chamado de logaritmo natural, sendo denotado como ln; ele se comporta bem ao diferenciar, pois não há limite indeterminado para realizar os cálculos.

Assim, há duas maneiras de selecionar tais números especiais a. Uma maneira é definir a derivada da função exponencial ax sendo igual a ax e resolvendo para a. A outra maneira é definir a derivada do logaritmo de base a como 1/x e resolver para a. Em cada caso, chega-se a uma escolha conveniente de base para fazer cálculo. Acontece que essas duas soluções para a são, na verdade, a mesma: o número e.

As cinco regiões coloridas possuem a mesma área, e definem unidades de ângulo hiperbólico junto com a hipérbole xy = 1.

A série de Taylor para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em 0:[29]

Definindo x = 1 recupera a definição de e como a soma de séries infinitas.

A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a x de 1/t, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número e é o valor da função exponencial avaliada em x = 1, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que e é o único número real positivo que

Porque ex é a única função (salvo pelas multiplicações por uma constante K) que é igual a sua própria derivada:

e, portanto, também por sua própria antiderivada:[30]

Equivalentemente, a família de funções

em que K é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a equação diferencial

Desigualdades[editar | editar código-fonte]

As funções exponenciais y = 2x e y = 4x intersectam o gráfico de y = x + 1, respectivamente, em x = 1 e x = -1/2. O número e é a única base tal que y = ex intersecta apenas em x = 0. Podemos inferir que e está entre 2 e 4

O número e é o único número real tal que

para todo x positivo.[31]

Também, tem-se a desigualdade

para todo x real, com a igualdade se e somente se x = 1. Além disso, e é a única base da exponencial que para a desigualdade axx + 1 se mantém para todo x.[32] Este é um caso limite da desigualdade de Bernoulli

Função do tipo exponencial[editar | editar código-fonte]

O máximo global de x ocorre em x = e

O problema de cálculo de Steiner [en] questiona o máximo global da função

Este máximo ocorre precisamente em x = e. (Pode ser verificado que a derivada de lne é zero somente neste valor de x.)

Similarmente, x = 1/e é onde ocorre o máximo global da função

A tetração infinita

ou

converge se e somente se x ∈ [(1/e)e, e1/e] ≈ [0.06599, 1.4447] ,[33][34] mostrado por um teorema de Leonhard Euler.[35][36][37]

Teoria dos números[editar | editar código-fonte]

O número real e é irracional. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina.[38] (Ver também a Prova de Fourirer que e é irracional.)

Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, e é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.[39]

É conjurado que e seja normal, o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).[40]

Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante π é um período, mas é conjurado que e não seja.[41]

Números complexos[editar | editar código-fonte]

A função exponencial ex pode ser escrita como uma série de Taylor

Já que esta série é convergente para todo valor complexo de x, é comumente utilizada para estender a definição de ex para os números complexos.[42] Isto, junto com a série de Taylor para sen e cos x, permite que seja derivado a fórmula de Euler:

que vale para todo complexo x.[42] O caso especial com x = π é a identidade de Euler:

que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que π é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo.[43][44] Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo,[42]

Ademais, usando as propriedades da potenciação,

que é a fórmula de De Moivre.[45]

As expressões cos x e sen x em termos da função exponencial pode ser deduzido como a série de Taylor:[42]

A expressão cos x + sen x às vezes é abreviado como cis x.[45]

Representações[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Lista de representações de e

O número e pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua

[46][47]

que escrito é

O seguinte produtório é avaliado como e[26]

Diversas outras representações de e séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.

Representações estocásticas[editar | editar código-fonte]

Em adição às expressões analíticas exatas para representar e, há técnicas estocásticas para estimar e. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias X1, X2..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1:

Então o valor esperado de V é e: E(V) = e.[48][49]

Dígitos conhecidos[editar | editar código-fonte]

O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.[50][51]

Número de dígitos decimais conhecidos de e
Data Dígitos decimais Computação realizada por
1690 1 Jacob Bernoulli[10]
1714 13 Roger Cotes[52]
1748 23 Leonhard Euler[53]
1853 137 William Shanks[54]
1871 205 William Shanks[55]
1884 346 J. Marcus Boorman[56]
1949 2,010 John von Neumann (no ENIAC)
1961 100,265 Daniel Shanks e John Wrench[57]
1978 116,000 Steve Wozniak no Apple II[58]

Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de e numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, um cálculo recorde foi feito, tendo sido calculado 31 415 926 535 897 (aproximadamente π ×1013) dígitos de e.[59]

Computar os dígitos[editar | editar código-fonte]

Uma maneira de computar os dígitos de e é com a série[60]

Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas p(a, b) e q(a, b). As funções são definidas como

A expressão

produz a n-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza divisão binária [en] para computar e com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.[60]

Na cultura computacional[editar | editar código-fonte]

Durante o surgimento da cibercultura, ocasionalmente indivíduos e organizações prestam homenagem ao número e.

Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de e. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.[61]

Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar 2 718 281 828 USD, que é o arredondamento de e bilhões de dolares.[62]

O Google também foi responsável por um outdoor[63] que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" (lit. primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e). O primeiro número primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99º dígito.[64] Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127º dígito.[65] Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.[66]

Referências

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  10. a b Jacob Bernoulli considerou o problema da composição contínua de juros, o que levou a uma expressão em série para e. Ver: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Algumas questões sobre juros, com a solução de um problema sobre jogos de azar, proposto no Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), no ano de 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. Na página 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (Este é um problema de outro tipo: A pergunta é se algum credor investisse [uma] soma de dinheiro [com] juros, deixasse acumular, de modo [que] a cada momento recebesse [uma] parte proporcional dos juros anuais; quanto seria devido [ao] final do ano?) Bernoulli constrói uma série de potências para calcular a resposta e, em seguida, escreve:" … quæ nostra serie [expressão matemática para uma série geométrica] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … que nossa série [uma série geométrica] é maior [do que]. … se a = b, [o credor] terá a receber mais do que a e menos do que 3a.) Se a = b, a série geométrica se reduz à série para a × e, então 2.5 < e < 3. (** A referência é a um problema que Jacob Bernoulli propôs e que aparece no Journal des Sçavans de 1685, ao final da página 314.)
  11. Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of MathematicsRegisto grátis requerido (em inglês) 2.ª ed. [S.l.]: Wiley. p. 419. ISBN 978-0-471-54397-8 
  12. Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). «Sämliche Schriften Und Briefe» (PDF) (em alemão). look for example letter nr. 6 
  13. Euler. «Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta» (em latim). Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (português: Escrito para o número cujo logaritmo tem a unidade, e, que é 2,7182817…") 
  14. Lettre XV. Euler à Goldbach, datado 25 de novembro de 1731 em: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Correspondência matemática e física de alguns geômetras famosos do século XVIII), vol. 1, (São Petersburgo, Russia: 1843), pp. 56–60, ver especificamente p. 58. Da p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denota aquele número cujo logaritmo hiperbólico (isto é, logaritmo natural) é igual a 1), … )
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Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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