e (constante matemática)

 Nota: Se procura constante de Euler, veja constante de Euler.

Gráfico da equação $y=1/x.$ Aqui, e é o número único maior que 1 que faz a área à sombra ser igual a 1.

Parte de uma série de artigos sobre a
constante matemática e
Propriedades
Logaritmo natural Função exponencial
Aplicações
Juro composto Identidade de Euler Fórmula de Euler meias-vidas crescimento e decaimento exponencial
Definir e
prova de que e é irracional representações de e Teorema de Lindemann–Weierstrass
Pessoas
John Napier Leonhard Euler

O número e é uma constante matemática que é a base dos logaritmos naturais. Por vezes é chamado número de Euler (ou constante de Euler) em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, número de Napier, em homenagem a John Napier, número de Neper, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial e outros. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

$k{e}^{r}=\lim _{n\to \infty }\left(k\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}\right)$

para $r=k=1$, ou seja:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

ou ainda, substituindo-se n por ${\frac {1}{h}}$

$e=\lim _{h\to 0^{+}}\left(1+h\right)^{\frac {1}{h}}$

Cujo valor é aproximadamente 2,718281828459045235360287.

Caracterizações menos triviais de $e$

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também: $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e$

O número $e$ pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para $e^{x}$ quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função $e^{x}$ (função exponencial de base $e$) pode ser representada da seguinte forma:

$(\forall x\in \mathbb {R} )$, $exp(x)=e^{x}$

assim, por exemplo, tem-se :

$\exp(3)=e\times e\times e=e^{3}$ ou ainda

$\exp(-4)={\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}\times {\frac {1}{e}}=\left({\frac {1}{e}}\right)^{4}=e^{-4}$

Outra maneira de se encontrar o valor de $e$ é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

$e=2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{6+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}$

Ou, de forma mais simplificada (sequência A003417 na OEIS):

$e=[[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]],\,$

que pode ser escrita mais harmoniosamente com a utilização do zero:

$e=[[1,{\textbf {0}},1,1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ]],\,$

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam $e$ já foram desenvolvidas.

O Número $e$ no Cálculo

A função exponencial $y=e^{x}$ tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

Isto significa que $e$ tem a notável propriedade de que a taxa de variação de $e^{x}$ no ponto x = t vale $e^{t}$. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções $y=ke^{x}$, $(\forall k\in \mathbb {R} )$ também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir $e$ como sendo o único número maior que zero tal que:

$\ln {e}=\int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}={1}$

Mais Sobre $e$

O número $e$ é um número irracional e transcendente (como pi). A irracionalidade de $e$ foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de $e$ foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que $e$ é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

$e^{i\pi }+1=0\,$

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

$e^{ix}=\cos x+i\,{\text{sen}}\,x\,\!$

que, por sua vez, advém da série de Taylor para $f(ix)=e^{ix}$.

Leonhard Euler começou a usar a letra $e$ para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de $e$ foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque $e$ é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre $zero$ e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a $e$.

$e$ como séries infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em $e$, têm-se, além da trivial:

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}$

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}$

$e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}$

$e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2(k-1)!}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}$

$e$ como limites e produtos infinitos

Os produtos infinitos

$e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots$

e

$e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,$

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

$\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},$

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

$e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}$

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$

$e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]$

$e$ com os primeiros 510 dígitos decimais

$e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247$

$\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382$

$\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629$

$\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763$

$\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089$

$\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411$

$\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838$

$\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113$

$\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692$

$\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953$

$\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230$

$\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots$

Exemplos de código para o cálculo de $e$

Na Linguagem C:

/*Código em C para calcular número de Euler, com n tendendo à 10^6.
Utiliza-se a expressão de Jakob Bernoulli neste caso.*/

#include <stdio.h>

  int main() {

    int contador = 1, exp = 1;
    double y, aux = 1, n = 1;

    do {
      y = (1 + (1 / n));

      while (exp <= contador) {
        aux = y * aux;
        exp++;
      }

      exp = 1;
      printf("\n      %.100lf \n\n\n ", aux);

      contador++;
      aux = 1;
      n++;

    } while (contador <= 1000000);

    return 0;
  }

Na Linguagem C++:

/* Código em C++ para calcular a precisão do número de Euler, onde n é a precisão 
a qual o número de Euler será calculado. */

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin >> n;
	
	int fatorial;
	float somatorio = 0;
	
	for (int i = 0; i < n; ++i){
		if (i == 0)
			fatorial = 1;
		else{		
			fatorial = i;
			for (int cont = i - 1; cont > 0 ; --cont){
				fatorial *= cont;
			}
		}
		somatorio += (1/double(fatorial));
	}
	
	cout << double(somatorio) << endl;

    system("pause");
	return 0;
}

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <windows.h>
using namespace std;

//Fatorial, n!
float fatorial(int valor){
	float fator = 1.0;
	while (valor > 0) {
		fator *= valor;
		valor--;
	}
	return fator;
}

//Somatório da equação 1/n!, onde n assume valores crescentes
//(Decrescentes para o caso dessa função)
long double eqn_Euler(int n_val){
	long double somatorio = 0;
	while (n_val >= 0) {
		somatorio += (1.0 / fatorial(n_val));
		n_val--;
	}
	return somatorio;
}


int main(){
	cout << setprecision(16), fixed;

	cout << eqn_Euler(100) << endl;

	system("pause");
	return 0;
}

Na Linguagem Python:

''' Código em Python para calcular o número de Euler, através de um somatório
de séries infinidas de zero à n, onde n é o último valor inteiro da série. '''

n  = int(input()) #pedindo o valor para a variável n

somatorio = 0 #iniciando a variável somatório como igual a zero

for i in range(n+1):
    #o algoritmo irá calcular o valor de euler com aprecisão definida por n
    
    if (i == 0):
        fatorial = 1
        #caso i for igual a zero a variável fatorial será
        #igualada a 1 pois 0!=1
        
    else:
        for ii in range(1, i+1):
            fatorial *= float(ii)
            #cálcudo do fatorial para valores diferentes de zero
            #note que a função range() começa em 1, o padrão é zero
            
    somatorio += (1/fatorial)
    #faz-se 1 dividido pelo fatorial do valor e soma-se esse à
    #variável somatorio, aqui é onde o número de euler tomará forma
    
    fatorial = 1
    #reinicia-se o valor da variável fatorial
    
print(somatorio)
#mostra o valor alcançado através do algoritmo

'''
número euler calculado limite de (1+1/n)^n com n se aproximando ao
infinito calculando os 200 primeiros dígitos, através da
biblioteca decimal
'''

from decimal import Decimal, getcontext

def euler(precisao):
    prec_n = precisao
    n_val = 4
    
    while prec_n > 1:
        prec_n /= 8
        n_val += 1
    #determinando o expoente máximo para a função (1+1/n)^n
    
    getcontext().prec = precisao+n_val
    #determinando a precisão a algumas casas decimais a mais
    #objetivando o arredondamento, se for o caso
    
    x = Decimal(1)/Decimal(1 << n_val)
    #x = 1/n, com o maior n cabível para a precisão requerida
    #-> Decimal(1 << n_val) = 2^(n_val)
    #-> x = 1 / [2^(n_val)]
    
    eps = Decimal(1)/Decimal(1 << int(1 + (10*precisao)/3 ))
    #determinando o épsilon da máquina/ponto flutuante
    #-> eps = 1 / [2^int(1 + (10*precisao)/3)]
    
    termo = x
    #termo = 1/n
    som_exp = Decimal(1) + x
    #som_exp = 1 + 1/n
    m = 2
    
    while termo > eps:
        termo *= x / Decimal(m)
        #termo = 1/n*[(1/n)/m], onde m crescerá
        m += 1
        som_exp += termo
        #1/n*[(1/n)/m] + 1/n, na primeira vez,
        #1/n*[(1/n)/m] contunuará sendo acrescido
    #essa operação irá se repetir enquanto a variável termo
    #não alcançar a precisão estabelecida por eps

    for k in range(n_val):
        som_exp *= som_exp
        #(som_exp)^n = (1+1/n)^n
    
    getcontext().prec = precisao
    #redeterminando a precisão para o valor inicialmente estipulado
    som_exp += Decimal(0)
    #aplicando a precisão estipulada
    return som_exp

print(euler(200))

Ver também

• Prova de irracionalidade do número de Euler

Ligações externas

• Representação decimal de e Mathemathika