Elipse inscrita de Steiner

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A elipse inscrita de Steiner. De acordo com o teorema de Marden, dado o triângulo de vértices (1,7), (7,5) e (3,1), os focos da elipse inscrita são (3,5) e (13/3,11/3), uma vez que Dx(1 + 7ix)(7 + 5ix)(3 + Ix) = (13/3 + 11/3ix)(3 + 5ix).

Em geometria, a elipse inscrita de Steiner[1] de um triângulo é a única elipse inscrita do triângulo que é tangente aos lados em seus ponto médios. É um exemplo de cônica inscrita. Por comparação, o círculo inscrito de um triângulo é outra cônica inscrita que é tangente aos lados, mas não necessariamente aos ponto médios. A elipse inscrita de Steiner é atribuída por Dörrie a Jakob Steiner,[2] e uma prova de sua unicidade é fornecida por Kalman.[3]

A elipse inscrita de Steiner contrasta com a elipse circunscrita de Steiner, também chamada simplesmente de elipse de Steiner, que é a única elipse que toca um triângulo dado em seus vértices e cujo centro é o centroide do triângulo.[4]

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O centro de uma elipse inscrita de Steiner é o centroide do triângulo — a intersecção das medianas do triângulo.[1] [5]

A elipse inscrita de Steiner de um triângulo tem área maior do que qualquer outra elipse inscrita desse triângulo; como a maior elipse inscrita, ela é o elipsoide de John do triângulo. Sua área é \tfrac{\pi}{3 \sqrt{3}} vezes a área do triângulo.[5] [6] Assim sua área é um quarto da elipse circunscrita de Steiner.

Notas

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Weisstein, E. "Steiner Inellipse" — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
  2. H. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.
  3. Kalman, Dan (2008), "An elementary proof of Marden's theorem", American Mathematical Monthly 115 (4): 330–338, http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf .
  4. Weisstein, Eric W., "Steiner Circumellipse" no MathWorld.
  5. a b Chakerian, G. D. (1979), "A distorted view of geometry", in Honsberger, Ross, Mathematical plums, The Dolciani Mathematical Expositions, 4, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, pp. 135–136, 145–146 .
  6. Minda, D.; Phelps, S. (2008), "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115 (8): 679–689, http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/steve_phelps/minda%20phelps.pdf .