Epimorfismo (teoria das categorias)

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Na teoria das categorias, epimorfismo generaliza o conceito de funções sobrejetivas ou de imagens "suficientemente grandes". Mais precisamente, um epimorfismo (ou epi) é um morfismo f : xy numa categoria C com a propriedade de que

hf = kf implica h = k

sempre que z é objeto de C e h, k : yz são morfismos paralelos. Brevemente, um epimorfismo é uma seta cancelável à direita da composição.[1][2]

O conceito dual a epimorfismo é monomorfismo.

Nota de terminologia: Fora da teoria das categorias, "epimorfismo" pode referir-se a um homomorfismo sobrejetivo.[3]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos (e homomorfismos de grupos) e na categoria de espaços topológicos (e funções contínuas), os epimorfismos são precisamente os mapeamentos sobrejetivos.[2][4]
  • Na categoria dos anéis, a inclusão ℤ → ℚ é um epimorfismo não sobrejetivo.[5]
  • Na categoria dos espaços de Hausdorff, um mapeamento é epimorfismo precisamente quando sua imagem é densa no contradomínio.[4]

Retração[editar | editar código-fonte]

Se gf = 1c para algumas setas f : cd e g : dc, f é chamada inversa à direita ou seção e g é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.[2] Eis alguns exemplos de retrações:

  • Na categoria dos conjuntos, as retrações são precisamente as funções sobrejetivas. (Inclusive, isto é uma das formulações do axioma da escolha.)[6]
  • Na categoria dos módulos sobre um anel R, um homomorfismo φ : MN é uma retração precisamente quando há sequência exata
    que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo
    no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por a ↦ (a, 0) e (a, b) ↦ b. (O módulo M "cinde-se" em N e o núcleo de φ.) Por isso, retrações são também chamadas de epimorfismos que cindem.[7]

Referências

  1. (Riehl, §1.2)
  2. a b c (Mac Lane, §I.5)
  3. (Aluffi, §III.2.3, rodapé): "Unfortunately, some references define ring epimorphisms as 'surjective ring homomorphisms'; this should be discouraged."
  4. a b (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.40)
  5. (Aluffi, §III.2.3)
  6. (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.25)
  7. (Aluffi, §III.7.2)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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