Equação de convecção-difusão

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A equação de convecção-difusão é uma equação parabólica em derivadas parciais, a qual descreve o fenômeno físico onde partículas ou energia (ou outras grandezas físicas) são transferidas dentro de um sistema devido a dois processos: difusão e convecção. Nesta forma mais simples (quando o coeficiente de difusão e a velocidade de convecção são constantes e não há fontes ou fugas) a equação toma a forma[1][2][3]:

Os dois termos no lado direito representam processos físicos diferentes: o primeiro corresponde a difusão normal enquanto o segundo descreve convecção ou advecção – o qual é o motivo pelo qual a equação é também conhecida como a equação de advecção-difusão. Além disso c é a variável de interesse, a constante D é o coeficiente de difusão, e é a velocidade.

Equação de convecção-difusão com coeficientes constantes[editar | editar código-fonte]

Quando é constante, podemos encontrar uma solução clássica para a equação do transporte[4]. Uma forma de obtermos uma tal solução é impondo uma condição inicial.

Problema de valor inicial[editar | editar código-fonte]

Consideremos, primeiro, o caso homogêneo, isto é, . Definindo uma condição inicial para temos o seguinte problema de valor inicial:

onde, com e . Além disso, assumimos que , i.e. é uma vez continuamente diferenciável.

Com isso, podemos mostrar que a solução deste problema é:

.

Com feito, esta solução satisfaz a condição inicial e, além disso, substituindo na equação do transporte homogênea vemos que:

.

Ou seja, definida acima é de fato solução do problema.

Caso não-homogêneo[editar | editar código-fonte]

Aqui, encontramos uma solução clássica para o seguinte problema de valor inicial:

onde, e estão definidas como acima e .

Para buscarmos uma solução para este problema, definimos:

o que nos dá:

.

Logo:

.

Portanto:

é solução clássica do problema dado.

Derivação[editar | editar código-fonte]

A equação de convecção-difusão pode ser derivada em uma forma simplificada da equação de continuidade, a qual estabelece que a taxa de alteração para uma grandeza escalar em um volume de controle diferencial é dado por fluxo e difusão dentro e fora da parte do sistema, juntamente com toda a geração ou o consumo dentro do volume de controle:

onde é o fluxo total e s é uma fonte volumétrica líquida (resultado de balanço) para c. Na ausência de fluxo físico, este fluxo pode ser descrito através da fenomenológica primeira lei de Fick, a qual assume que o fluxo de material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local. Quando há convecção ou fluxo, o fluxo total é dado pela soma do fluxo difusivo e que é conhecido como o fluxo convectivo .

Combinando-se estes dois termos o fluxo total torna-se:

A substituição desta equação na equação de continuidade dá a forma geral da equação de convecção–difusão:

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Bejan A (2004). Convection Heat Transfer [S.l.: s.n.] 
  2. Bird, Stewart, Lightfoot (1960). Transport Phenomena [S.l.: s.n.] 
  3. Probstein R (1994). Physicochemical Hydrodynamics [S.l.: s.n.] 
  4. Evans, L.C. (2010). Partial Differential Equations 2 ed. American Mathematical Society [S.l.] 

Ver também[editar | editar código-fonte]