Equação diferencial de Bernoulli

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Text document with red question mark.svg
Este artigo ou secção contém fontes no fim do texto, mas que não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde maio de 2015)
Por favor, melhore este artigo introduzindo notas de rodapé citando as fontes, inserindo-as no corpo do texto quando necessário.

A Equação diferencial de Bernoulli, cujo nome vem de Jakob Bernoulli, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

(0.1)

onde é um qualquer número real. Para e esta equação diferencial não é linear.

Não confundir com a Equação de Bernoulli da Mecânica de fluidos.

Desenvolvimento[editar | editar código-fonte]

Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por

(0.2)

Seja agora

Derivando obtemos

Multiplicando ambos membros de (0.2) por fica

(0.3)

Ou seja,

(0.4)

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, e contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir por

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Vamos resolver a seguinte equação diferencial

(0.5)

Dividindo ambos os membros por fica

(0.6)

Pondo

A equação (0.6) é equivalente a

(0.7)

Substituindo por vem

(0.8)

Usando a notação anterior,

e

onde

e

A solução geral de (0.8) é dada por

ou seja,

(0.9)

Para (0.9) é equivalente a

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

Substituindo por vem

ou ainda,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  • Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum . Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
  • Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Ligações externas[editar | editar código-fonte]