Este artigo trata de equação diferencial ordinária exata no sentido denotativo, para possível sentido conotativo, que pode causar confusão, ver equações diferenciais estocásticas.
Uma Equação diferencial ordinária é dita exata[1] quando é possível colocá-la na seguinte forma:

e

com
e
funções diferenciáveis e integráveis.
O seguinte teorema fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.[2]
Suponha que as funções
e
, onde os índices denotam derivadas parciais, são contínuas na região conexa
.
Então, a equação

é uma equação diferencial exata em
se, e só se,
(1)
em cada ponto de R.
Isto é, existe uma função
que satisfaz as equações,


se, e só se,
e
satisfazem (1), pois[2]
Uma equação diferencial ordinária do tipo
é equivalente a
, pois
Se ela for uma equação exata, teremos que
.
Então podemos supor que há uma função
de modo que
.
Assim, para obter essa função basta integrar
em relação a
.
. Note-se que
é a constante de integração, e como não depende de
,
.
Agora podemos derivar
na direção de
supondo que
. Assim, obtemos:
.
Isolando
temos:
Então, por fim, integramos
na direção de
, de modo a obter:
Ou seja
E, finalmente, a solução da equação diferencial é a função implícita
[1]
Resolvamos a equação Diferencial Ordinária
.
Temos:
,
onde
e
.
Logo,
, donde se conclui que é exata.
Pelo corolário acima, ∃F(x,y), então:
.
Integrando em relação a x:
, em que f(y) é uma função de y.
Além disso,
. Então
.
Integrando em relação a y, temos:
, c constante.
Logo, pelo corolário, a função F é:

A solução da equação diferencial exata é
ou seja

Considere uma função diferenciável
da qual pode-se deduzir a expressão diferencial exata

A expressão que deu origem à equação,
, representa uma superfície de um tipo especial, pois é o gráfico de uma função diferenciável.
Esta superfície, quando cortada pelo plano (de altura) constante
equivale a resolver o sistema de equações:

Geometricamente falando, o resultado desta interseção é uma curva no espaço, obtida pela interserção de duas superfícies. Como o plano é paralelo ao plano
então há uma projeção desta curva espacial sobre o domínio
de
que chamamos curva de nível. Observe que se pode representar a interseção escrevendo

Diferenciando esta última equação, obtemos:

Esta última expressão é a que em geral temos, a equação diferencial exata. Quer dizer, resolver uma equação diferencial exata consiste em recuperar, se for possível, a função cuja diferencial se encontra expressa na equação.
Mas não é nesta forma canônica, das equações diferenciais exatas, uma das razões disso é que ela podem representar formas não exatas. A forma canônica é

Esta equação é dita exata se existe uma função
tal que
Resolver, então, a equação diferencial exata consiste em descobrir
a partir de suas derivadas parciais.
Referências
- ↑ a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. p. 51. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ a b E. BOYCE, William; DIPRIMA, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9
- Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers:Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications, 157-160. ISBN 0-486-41147-8